Bewijzen in de wiskunde 16 september 2024

Bewijstechnieken

Bij het bewijzen van een stelling bewijs je meestal een implicatie van de vorm:

$\forall x \in S : P(x) \implies Q(x)$

Triviaal en vaculeus bewijs

Een makkelijke manier om een implicatie te bewijzen zijn met een triviaal of met een vaculeus bewijs. Bij een triviaal bewijs toon je aan dat $Q(x)$ altijd waar is, wat de implicatie waar maakt. Bij een vaculeus bewijs toon je aan dat $P(x)$ nooit waar is, wat de implicatie ook waar maakt.

Dit is een voorbeeld van een triviaal bewijs:

Stelling

$\forall x \in \R : x < 0 \implies x^2 + 1 > 0$

Bewijs

Neem $x \in R$ . Omdat $x^2 \ge 0$ , geldt $x^2 + 1 \ge 1 > 0$ . Dus $x^2 + 1 > 0$ . QED.

En dit is een voorbeeld van een vaculeus bewijs:

Stelling

$\forall x \in \R : x^2-2x+2 \le 0 \implies x^3 \ge 8$

Bewijs

Neem $x \in \R$ . Merk op dat $x^2-2x+1=(x-1)^2$ .

$x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1 \ge 0$

Dus $x^2-2x+2 \le 0$ is nooit waar. QED.

Direct bewijs

Bij een direct bewijs van de bewering $\forall x \in S : P(x) \implies Q(x)$ nemen we een element $x \in S$ waarvoor $P(x)$ waar is, en gebruiken we eigenschappen van $P(x)$ om aan te tonen dat $Q(x)$ waar is.

Stelling

Voor iedere $n \in \Z$ , als $n$ oneven is, dan is $3n+7$ even.

Bewijs

Neem een oneven $n \in \Z$ . Omdat $n$ oneven is, bestaat er een $k \in \Z$ zodat $n = 2k+1$ . Dan geldt:

$3n + 7 = 3(2k + 1)+ 7 = 6k + 10 = 2(3k + 5)$

Omdat $3k+5\in\Z$ , geldt dat $2(3k+5)=3n+7$ even is. QED.

Contrapositie

Bij een bewijs met contrapositie van de bewering $\forall x \in S : P(x) \implies Q(x)$ , toon je aan dat $\forall x \in S : \lnot Q(x) \implies \lnot P(x)$ waar is. Dit is logisch equivalent aan de eerste bewering, waarmee die dus ook bewezen is.

Stelling

Voor iedere $x\in\Z$ , als $5x-7$ even is, dan is $x$ oneven.

Bewijs

Neem $x\in\Z$ . We bewijzen dit met contrapositie, dus we nemen aan dat $x$ even is en tonen aan dat $5x-7$ oneven is.

Er bestaat dus een $k\in\Z$ zodat $x=2k$ . Dit geeft:

$5x-7 = 5(2k)-7 = 2(5k-4)+1$

Omdat $5k-4\in\Z$ , geldt dat $2(5k-4)+1=5x-7$ oneven is. QED.

Lemma

Een lemma is een (kleine) stelling die helpt bij het bewijzen van een grotere stelling. Het is dus eigenlijk een hulpstelling.

Gevalsonderscheiding

Het kan soms handig zijn een bewering te bewijzen door verschillende gevallen te onderscheiden.

Bij gevalsonderscheiding moeten de gevallen alle mogelijkheden dekken. Er mag wel overlap in zitten.

Stelling

Voor elke $n\in\Z$ geldt dat $n^2+3n+5$ oneven is.

Bewijs

Neem $n\in\Z$ . We onderscheiden twee gevallen: (1) $n$ is even en (2) $n$ is oneven.

Geval (1): $n$ is even. Dan bestaat er een $k\in\Z$ zodat $n=2k$ Dit geeft $n^2+3n+5 = (2k)^2+3(2k)+5 = 4k^2+6k+5 = 2(2k^2+3k+2)+1$ . Omdat $2k^2+3k+2\in\Z$ , geldt dat $2(2k^2+3k+2)+1=n^2+3n+5$ oneven is.

Geval (2): $n$ is oneven. Dan bestaat er een $k\in\Z$ zodat $n=2k+1$ . Dit geeft $n^2+3n+5 = (2k+1)^2+3(2k+1)+5 = 4k^2+10k+9 = 2(2k^2+5k+4)+1$ . Omdat $2k^2+5k+4\in\Z$ , geldt dat $2(2k^2+5k+4)+1=n^2+3n+5$ oneven is.

QED.

Soms is het bij gevalsonderscheiding handig om zelfs nog deelgevallen te onderscheiden.