Jeroen's Studie Archief
Bewijzen in de wiskunde 18 september 2024

Deelbaarheid van gehele getallen

Twee getallen a,b∈Za,b\in\Z hebben dezelfde pariteit als aa en bb allebei even of allebei oneven zijn.

Voor twee getallen a,b∈Za,b\in\Z met a≠0a\neq0 zeggen we dat "aa deelt bb", notatie a∣ba|b, precies als er een c∈Zc\in\Z bestaat zodat b=acb=ac. Voor een even n∈Zn\in\Z geldt dus dat 2∣n2|n.

Voorbeeld

Er geldt 3∣63|6, 4∣44|4 en −2∣10-2|10.

Als a∣ba|b, zeggen we dat aa een deler is van bb en bb een veelvoud is van aa. Verder, als aa niet bb deelt, schrijven we a∤ba \nmid b.

Stelling

Laat a,b,c∈Za,b,c\in\Z met a,b≠0a,b\neq0. Als a∣ba|b en b∣cb|c, dan a∣ca|c.

Bewijs

Neem a,b,c∈Za,b,c\in\Z met a,b≠0a,b\neq0 zodat a∣ba|b en b∣cb|c. Dan bestaat er x,y∈Zx,y\in\Z zodat b=axb=ax en c=byc=by. Er geldt dus dat c=axyc=axy. Omdat xy∈Zxy\in\Z, geldt dat a∣ca|c. QED.

Congruenties van gehele getallen (modulo-rekenen)

Voor a,b,n∈Za,b,n\in\Z met n≥2n\ge2 zeggen we dat aa congruent is aan bb modulo nn, notatie a≡bmod  na \equiv b \mod n, precies als n∣a−bn|a-b.

Voorbeeld

Er geldt 15≡7mod  415\equiv7\mod4, want 4∣15−7=84|15-7=8. Verder geldt 3≡−15mod  93\equiv-15\mod9, want 9∣3−−15=189|3--15=18.

Dit is een belangrijke stelling over congruenties.

Stelling

Laat a,b,k,n∈Za,b,k,n\in\Z met n≥2n\ge2. Als a≡bmod  na \equiv b \mod n, dan ak≡bkmod  nak \equiv bk \mod n.

Bewijs

Neem a,b,k,n∈Za,b,k,n\in\Z met n≥2n\ge2 zodat a≡bmod  na \equiv b \mod n. Dan geldt n∣a−bn|a-b, dus er bestaat een x∈Zx\in\Z zodat a−b=nxa-b=nx. Nu geldt ak−bk=nkxak-bk=nkx. Omdat kx∈Zkx\in\Z, geldt n∣ak−bkn|ak-bk en dus ak≡bkmod  nak \equiv bk \mod n. QED.

Gemaakt door Jeroen van Rensen.