Existentiële bewijzen en inductie

Inverse

We willen inverse functies vinden voor de goniometrische functies $\sin(x)$, $\cos(x)$ en $\tan(x)$. Maar omdat deze functies niet bijectief zijn, bestaan er geen inverse functies.

We kunnen wel functies definiëren die op een bepaald domein de inversen zijn. We krijgen zo $\arcsin(x)$, $\arccos(x)$ en $\arctan(x)$.

Deze tabel geeft een overzicht van de functies:

Op het domein van de inverse functies geldt dat $\sin(\arcsin(x))=x$, $\cos(\arccos(x))=x$ en $\tan(\arctan(x))=x$.

Afgeleide van de inverse

We weten dat voor $-\frac12\pi \le x \le \frac12\pi$ geldt dat $\sin(\arcsin(x))=x$. Als we dit aan beide kanten differentiëren, krijgen we:

$$\tfrac{d}{dx} \sin(\arcsin(x)) = \tfrac{d}{dx} x$$

$$\cos(\arcsin(x)) \cdot \tfrac{d}{dx} \arcsin(x) = 1$$

$$\tfrac{d}{dx} \arcsin(x) = \frac1{\cos(\arcsin(x))}$$

Deze uitdrukking kunnen we mooier schrijven, door een rechthoekige driehoek te tekenen. We noemen $\theta = \arcsin(x)$, waaruit volgt dat $x=\sin(\theta)=\frac x1$. Hiermee kunnen we één zijde van de driehoek $x$ noemen en een andere zijde $1$. De overgebleven zijde is dan volgens de stelling van Pythagoras gelijk aan $\sqrt{1-x^2}$.

Hieruit volgt dat $\cos(\theta)=\sqrt{1-x^2}=\cos(\arcsin(x))$, dus:

$$\tfrac{d}{dx} \arcsin(x) = \frac1{\sqrt{1-x^2}}$$

Op vergelijkbare wijze krijgen we ook dat:

$$\tfrac{d}{dx} \arccos(x) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$\tfrac{d}{dx} \arctan(x) = \frac{1}{1+x^2}$$