Laat $A,B$ verzamelingen zijn. Een functie $f$ van $A$ naar $B$, notatie $f: A \to B$, is een relatie van $A$ naar $B$, zodat er voor elke $a \in A$ een unieke $b \in B$ bestaat met waarvoor $(a,b) \in f$, notatie $f(a) = b$.
Het beeld van een functie $f$, notatie $\text{range}(f)$, is elke waarde die $f$ kan "bereiken":
$$ \text{range}(f) = \{ f(a) : a \in A \} $$
Twee functies $f,g: A \to B$ zijn gelijk, notatie $f=g$, als voor alle $a \in A$ geldt dat $f(a)=g(a)$.
Voor $f: A \to B$ en een verzameling $C \subseteq A$, is het beeld van $C$, notatie $f(C)$, gelijk aan:
$$ f(C) = \{ f(x) : x \in C \} $$
Voor een functie $f: A \to B$ en een verzameling $D \subseteq B$ is het inverse beeld, notatie $f^{-1}(D)$, gelijk aan:
$$ f^{-1}(D) = \{ a \in A : f(a) \in D \} $$
Gegeven zijn $A=\{ a,b,c,d,e \}$ en $B=\{ 1,2,3,4,5,6 \}$. Dan is de relatie $f$ gegeven door $f=\{ (a,3),(b,5),(c,2),(d,3),(e,6) \}$ een functie van $A$ naar $B$.
Er geldt $f(\{a,b,c\})=\{2,3,5\}$ en $f(\{a,d\})=\{3\}$.
Hier geldt dus ook dat $f^{-1}(\{ 1,3 \}) = \{a,d\}$.
Voor verzamelingen $A,B$ is $B^A$ de verzameling met alle functies van $A$ naar $B$.
Er geldt dat $|B^A|=|B|^{|A|}$.
Voor $B=\{0,1\}$ schrijven we $B^A$ als $2^A$.
Een functie $f: A \to B$ is injectief (one-to-one) als voor alle $x,y \in A$ geldt dat $f(x) = f(y) \implies x = y$. Merk op: voor eindige verzamelingen $A,B$ en een injectieve functie $f: A \to B$, geldt dat $|A|\le|B|$.
Een functie $f: A \to B$ is surjectief (onto) als er voor iedere $b \in B$ een $a \in A$ bestaat zodat $f(a) = b$. Merk op: voor eindige verzamelingen $A,B$ en een surjectieve functie $f: A \to B$, geldt dat $|A|\ge|B|$.
Een functie $f$ is bijectief als deze injectief en surjectief is. Merk op: voor eindige verzamelingen $A,B$ en een bijectieve functie $f: A \to B$, geldt dat $|A|=|B|$.
Laat de functie $f: \R \to \R$ gegeven zijn door $f(x)=ax+b$, met $a,b\in\R$ en $a\neq0$. Dan is $f$ bijectief.
We bewijzen dat $f$ (1) injectief is en (2) surjectief is.
(1) Neem $x,y\in\R$ en neem aan dat $f(x)=f(y)$. Dan geldt $ax+b=ay+b$. Als we aan beide kanten $b$ aftrekken en delen door $a$, krijgen we $x=y$. Dus $f$ is injectief.
(2) We moeten aantonen dat er voor iedere $y\in\R$ een $x\in\R$ bestaat zodat $f(x)=y$. Kies $x=\dfrac{y-b}{a}$. Dan geldt:
$$ f(x) = f\left(\frac{y-b}{a}\right) = a \cdot \frac{y-b}{a} + b = y-b+b = y $$
Dus $f$ is surjectief.
QED.
Voor een verzameling $A$ is de identiteit van $A$ de functie $\text{id}_A: A \to A$ gegeven door $\text{id}_A(a) = a$.
Gemaakt door Jeroen van Rensen.