Jeroen's Studie Archief
Lineaire algebra 26 september 2024

Deelruimten en (in)homogene stelsels

Deelruimten

Definitie

Een deelverzameling WW van Rn\R^n heet een (lineaire) deelruimte van Rn\R^n als:

  • ∀x,y∈W:x+y∈W \forall x, y \in W : x + y \in W
  • ∀x∈W:∀λ∈R:λx∈W \forall x \in W : \forall \lambda \in \R : \lambda x \in W
  • 0∈W 0 \in W

Als V,WV,W deelruimten van Rn\R^n zijn, dan gelden de volgende eigenschappen:

  • De doorsnede V∩WV \cap W is een deelruimte.
  • De vereniging V∪WV \cup W is een deelruimte precies als V⊆WV \subseteq W of W⊆VW \subseteq V.

Opspansel

Definitie

Als v1,v2,...vr∈Rnv_1, v_2, ... v_r \in \R^n, dan is het opspansel van deze vectoren gelijk aan:

Span(v1,v2,...vr)={λ1v1+λ2v2+...+λrvr:λ1,λ2,...λr∈R} \text{Span}(v_1, v_2, ... v_r) = \{ \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + ... + \lambda_r v_r : \lambda_1, \lambda_2, ... \lambda_r \in \R \}

Hier een voorbeeld.

Voorbeeld

Span([100],[010])={λ1[100]+λ2[010]:λ1,λ2∈R} \text{Span}\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right) = \left\{ \lambda_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + \lambda_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} : \lambda_1, \lambda_2 \in \R \right\}

Dit is gelijk aan het x×yx \times y-grondvlak.

(In)homogene stelsels

Laat A∈Mn,nA \in M_{n,n} en x,b∈Rnx,b\in\R^n. We beschouwen het stelsel Ax=bAx=b. Zo'n stelsel heet homogeen als b=0b=0 en inhomogeen als b≠0b\neq0.

De oplossingsverzamelingen noteren we dan met ShomS_\text{hom} voor homogene stelsels en SinhomS_\text{inhom} voor inhomogene stelsels. Er geldt:

Shom={x∈Rn:Ax=0} S_\text{hom} = \{ x \in \R^n : Ax = 0 \}

Sinhom={x∈Rn:Ax=b≠0} S_\text{inhom} = \{ x \in \R^n : Ax = b \neq 0 \}

Twee opmerkingen:

  1. De verzameling ShomS_\text{hom} is altijd een lineaire deelruimte van Rn\R^n.
  2. De verzameling SinhomS_\text{inhom} is nooit een lineaire deelruimte van Rn\R^n.

Verder geldt dat SinhomS_\text{inhom} geschreven kan worden als:

Sinhom={x0+y:y∈Shom} voor een x0∈Sinhom. S_\text{inhom} = \{ x_0 + y : y \in S_\text{hom} \} \quad \text{ voor een } x_0 \in S_\text{inhom} \text.

Nulruimte

Definitie

Laat A∈Mm,nA \in M_{m,n}. Dan is de verzamelingen met vectoren x∈Rnx\in\R^n waarvoor Ax=0Ax=0 de nulruimte van AA, notatie Nul(A)\text{Nul}(A).

Oftewel:

Nul(A)={x∈Rn:Ax=0} \text{Nul}(A) = \{ x \in \R^n : Ax = 0 \}

De nulruimte van een matrix is altijd een lineaire deelruimte van Rn\R^n.

Gemaakt door Jeroen van Rensen.