Dimensies van lineaire deelruimtes

Gegeven zijn de lineaire deelruimten $U,V \in \R^n$.

In het algemeen geldt dat $U \cup V$ geen lineaire deelruimte is.

De verzameling $U \cap V$ is wel altijd een lineaire deelruimte.

De somruimte $U+V = \{ u + v : u \in U, v \in V \}$ is ook altijd een lineaire deelruimte.

Basis voor $U \cap V$

We nemen als voorbeeld de lineaire deelruimten $U,V$ gegeven door:

$$U = \text{span}\left( \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right), \quad V = \text{span}\left( \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ 6 \\ 14 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \\ 5 \end{bmatrix} \right)$$

Deze vectoren noemen we $u_1, u_2, v_1, v_2, v_3$.

Er geldt: als $x \in U \cap V$, dan is $x$ te schrijven als $x = \lambda_1 u_1 + \lambda_2 u_2 = \mu_1 v_1 + \mu_2 v_2 + \mu_3 v_3$, voor $\lambda_i, \mu_i \in \R$.

Oftewel: $\lambda_1 u_1 + \lambda_2 u_2 - \mu_1 v_1 - \mu_2 v_2 - \mu_3 v_3 = 0$. We zoeken dus lineaire relaties.

Concreter: we zoeken vectoren $\begin{bmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ -\mu_1 \\ -\mu_2 \\ -\mu_3 \end{bmatrix} \in \text{Nul}(A)$ voor een matrix $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 6 & 1 \\ 4 & 1 & 1 & 14 & 5 \end{bmatrix}$.

Gauss-Jordan-eliminatie geeft $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -12 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$, dus $\text{Nul}(A) = \left\{ \begin{bmatrix} -6t \\ 12t \\ -2t \\ t \\ 0 \end{bmatrix} : t \in \R \right\}$.

We concluderen dat $\text{dim}(U \cap V) = 1$.

Kies $t=1$. Dan is $\left\{ \begin{bmatrix} -6 \\ 12 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}$ een basis voor $\text{Nul}(A)$.

Een basisvector voor $U \cap V$ is dan:

$$-6 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} + 12 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ 6 \\ 14 \end{bmatrix} + 0 \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 \\ 0 \\ -6 \\ -12 \end{bmatrix}$$