Inproduct

Definitie

Voor vectoren $a, b \neq 0$ met hoek $\theta$ tussen $a$ en $b$ zodat $0\leq\theta\leq\pi$, is het inproduct van $a$ en $b$, notatie $a \cdot b$, gelijk aan $|a||b|\cos(\theta)$.

Omdat $cos(\frac12\pi)=0$, volgt dat $a \perp b \iff a \cdot b = 0$. Twee vectoren die loodrecht op elkaar staan, heten orthogonaal.

We spreken af dat als $a=0$ of $b=0$, ook geldt dat $a \cdot b = 0$.

Hoek $\theta$

De cosinusregel zegt dat voor driehoek $\Delta ABC$ met $\theta = \angle BAC$ geldt:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot \cos(\theta)$$

Met deze stelling kun je de hoek $\theta$ tussen vectoren $x$ en $y$ berekenen met:

$$\cos(\theta) = \frac{x \cdot y}{|x||y|} = \frac{x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3}{\sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} \cdot \sqrt{y_1^2 + y_2^2 + y_3^2}}$$

Rekenregels voor inproducten

Voor vectoren $x,y,z$ en een getal $\lambda\in\R$ gelden de volgende regels:

• $x \cdot y = y \cdot x$
• $(\lambda x) \cdot y = \lambda(x \cdot y)$
• $(x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z$
• $x \cdot x \ge 0$ en $x \cdot x \iff x = 0$

Vlakken en normaalvectoren

Neem een vlak $V$ en een normaalvector $n$ van dat vlak. Neem verder een vector $p$ van de oorsprong $O$ naar het vlak $V$. Dan geldt voor iedere vector $x$ van $O$ naar $V$ dat $x-p$ op het vlak ligt, dus $n \cdot (x-p) = 0$, ofwel:

$$n \cdot x = n \cdot p$$

Deze vergelijking voor $x$ is een vergelijking voor het vlak $V$.

Multi-dimensionaal

Voor vectoren $x,y\in\R^n$ spreken we de volgende regels af:

• $x \cdot y = x_1y_1 + x_2y_2 + ... + x_ny_n$
• $|x| = \sqrt{x \cdot x}$
• $x \cdot y = |x||y|\cos(\theta)$, met $0 \leq \theta \leq \pi$ de "hoek" tussen $x$ en $y$.

Ongelijkheid van Schwarz