Lineaire algebra 24 september 2024

Inverse matrices

We nemen een matrix $A \in M_{n,n}$ en vectoren $x, b \in \R^n$ en beschouwen de vergelijkingen $Ax=b$ .

Stel $r$ is het aantal pivot-elementen van A wanneer rijreductie toegepast is. Dan geldt:

$r=n$ : het stelsel $Ax=b$ heeft precies één oplossing $x\in\R^n$ .
$r<n$ : het stelsel $Ax=b$ heeft of geen oplossing, of oneindig veel oplossingen $x\in\R^n$ .

Inverse

Definitie

Laat matrix $A \in M_{n,n}$ . Een matrix $B$ heet een inverse van $A$ als $AB=I_n=BA$ . Matrix $A$ heet inverteerbaar als $A$ een inverse heeft.

De inverse van een matrix $A$ noteren we met $A^{-1}$ .

Stelling

Als matrix $A$ inverteerbaar is, dan is de inverse van $A$ uniek.

Bewijs

Stel dat matrix $A$ inverteerbaar is, en dat $B$ en $C$ allebei inverses van $A$ zijn. Dan geldt:

$\begin{aligned} AB &= I \\ CAB &= CI \\ IB &= CI \\ B &= C \end{aligned}$

QED.

Bestaan van een inverse

Beschouw de volgende vier beweringen over matrix $A \in M_{n,n}$ en vectoren $x,b\in\R^n$ :

Matrix $A$ is inverteerbaar.
Het stelsel $Ax=b$ heeft een unieke oplossing $x$ voor iedere $b\in\R^n$ .
Het stelsel $Ax=b$ heeft een unieke oplossing $x$ voor een $b\in\R^n$ .
Matrix $A$ heeft na rijreductie $n$ pivot-elementen.

We weten dat beweringen (2), (3) en (4) gelijk aan elkaar zijn.

Stelling

Bewering (1) $\implies$ bewering (2).

Bewijs

We nemen aan dat $A$ een inverse heeft, namelijk $A^{-1}$ . We tonen aan dat (a) er een oplossing bestaat en (b) dat deze oplossing uniek is.

(a) Beschouw de vector $x=A^{-1}b$ , dan geldt $Ax=AA^{-1}b=Ib=b$ . Dit betekent dat $x=A^{-1}b$ een oplossing is voor $Ax=b$ .

(b) Als we een $x$ hebben zodat $Ax=b$ , dan volgt $A^{-1}Ax=A^{-1}b$ , waaruit volgt dat $x=A^{-1}b$ . Dus de oplossing $x=A^{-1}b$ is uniek.

QED.

En nu de andere kant op.

Stelling

Bewering (2) $\implies$ bewering (1).

Bewijs

We nemen aan dat het stelsel $Ax=b$ een unieke oplossing $x$ heeft. We bewijzen (a) dat er een $C \in M_{n,n}$ bestaat zodat $AC=I_n$ en (b) dat voor deze $C$ geldt dat $CA=I_n$ .

(a) Laat voor iedere $i=1,2,...,n$ , de vector $c_i$ de oplossing zijn voor het stelsel $Ax=e_i$ . Dan geldt $Ac_1=e_1$ , $Ac_2=e_2$ , etc. Laat nu $C$ de matrix zijn met $c_1, c_2, ..., c_n$ in de kolommen. Dan geldt dat $AC$ de matrix is met $e_1, e_2, ... e_n$ in de kolommen. Er geldt dus dat $AC=I$ .

(b) We tonen aan dat $Cx=0$ een unieke oplossing $x$ heeft. Er geldt $Cx=0 \implies ACx=A0$ , dus $x=A0=0$ . Dus als er een oplossing is, moet het $x=0$ zijn. Invullen geeft $C0=0$ , en dit klopt. Dus $Cx=0$ heeft een unieke oplossing $x=0$ . Omdat (2) $\iff$ (3), geldt dat $Cx=b$ een unieke oplossing heeft voor elke $b\in\R^n$ .

Volgens (a) bestaat er nu een matrix $A'$ zodat $CA'=I_n$ . Hieruit volgt dat $ACA'=A$ , oftewel $A'=A$ .

QED.

Er geldt dus dat beweringen (1), (2), (3) en (4) equivalent zijn.

Vinden van de inverse

Opgave

Vind de inverse van $A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ als deze bestaat.

Uitwerking

We zoeken oplossingen van $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ en $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ .

Hiervoor gaan we Gauss-Jordan-eliminatie toepassen. We krijgen:

$\left[ \begin{array}{cc|cc} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 0 & 1 \end{array} \right] \sim \left[ \begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -3 & 2 \end{array} \right]$

Dus de inverse is $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}$ .