Matrices en Gauss-Jordan-eliminatie

Matrices

Een $m \times n$-matrix $A$ bestaat uit $mn$ getallen uit $\R$, gesorteerd in $m$ rijen en $n$ kolommen. Het getal $a_{i,j}$ zit in de $i$-de rij en in de $j$-de kolom.

$$A = \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \dots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \dots & a_{2,n} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \dots & a_{3,n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & \dots & a_{m,n} \end{bmatrix}$$

De verzameling met alle $m \times n$-matrices is $M_{m,n}$.

Identiteitsmatrix

De identiteitsmatrix, notatie $I$, is de matrix met overal een $1$ op de diagonaal van linksboven naar rechtsonder, en verder overal een $0$.

Getransponeerde matrix

De getransponeerde matrix van een $m \times n$-matrix $A$, notatie $A^t$, is de matrix die we uit $A$ krijgen door $a^t_{i,j}=a_{j,i}$ voor alle mogelijke $i,j$.

Bewerkingen met matrices

Optellen

Het optellen van twee matrices $A$ en $B$, notatie $A+B$, kan alleen als $A$ en $B$ dezelfde grootte hebben (evenveel rijen en evenveel kolommen).

Het $i,j$-de element van $A+B$ is gelijk aan $a_{i,j} + b_{i,j}$.

Scalair vermenigvuldigen

Voor de vermenigvuldiging van een getal $\lambda\in\R$ en een matrix $A$, notatie $\lambda A$, wordt elk element uit $A$ vermenigvuldigd met $\lambda$.

Matrixvermenigvuldiging

Het product van $m \times n$-matrix $A$ en $n \times p$-matrix $B$ bestaat alleen als het aantal kolommen van $A$ gelijk is aan het aantal rijen van $B$.

Het element op positie $i,j$ van het product $AB$ is dan gelijk aan:

$$\sum_{j=1}^n a_{i,j} b_{j,k} \quad \text{ voor } 1 \le i \le m \text{ en } 1 \le k \le p$$

Rekenregels

Voor matrices $A,B,C$ en een getal $\lambda\in\R$ geldt:

• $A + B = B + A$
• $(A + B) + C = A + (B + C)$
• $\lambda (A + B) = \lambda A + \lambda B$
• $(\lambda + \mu) A = \lambda A + \mu A$
• $A(BC) = (AB)C$
• $A(B + C) = AB + AC$ en $(A + B)C = AC + BC$
• $(\lambda A)B = A(\lambda B) = \lambda(AB)$
• $IA = A = AI$

Lineaire stelsels en matrices

Gegeven is het volgende lineaire stelsel met vergelijkingen:

$$\begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 = 1 \\ 2x_1 + 4x_2 - x_3 = 4 \\ -x_1 + 5x_2 + 6x_3 = 9 \end{cases}$$

Op dit stelsel kunnen we drie operaties uitvoeren, die de oplossingsverzameling (verzameling met alle oplossingen) van het stelsel niet veranderen:

1. Volgorde van de vergelijkingen verwisselen.
2. Een vergelijking links en rechts vermenigvuldigen met een reëel getal $\lambda\neq0$.
3. Een veelvoud van een vergelijking optellen bij een andere vergelijking.

De vergelijkingen kunnen we als een product van matrices schrijven:

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 4 & -1 \\ -1 & 5 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 9 \end{bmatrix}$$

In dit geval heet de eerste matrix de coëfficiëntenmatrix en de laatste matrix de uitkomstenvector.

Omdat de kolom met $x_1,x_2,x_3$ niet echt informatie geeft over het stelsel, voegen we de coëfficiëntenmatrix en uitkomstenvector samen tot één uitgebreide coëfficiëntenmatrix:

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & -1 & 4 \\ -1 & 5 & 6 & 9 \end{array} \right]$$

Gauss-eliminatie

Bij Gauss-eliminatie willen we de uitgebreide coëfficiëntenmatrix tot rijgereduceerde vorm terugbrengen. Dat betekent dat voor iedere rij, behalve de eerste rij, minstens één van de volgende geldt:

• De rij bevat alleen maar nullen.
• Het aantal leidende nullen is groter dan het aantal leidende nullen in de voorgaande rij.

Met de uitgebreide coëfficiëntenmatrix van het voorbeeld gaat dat alsvolgt:

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & -1 & 4 \\ -1 & 5 & 6 & 9 \end{array} \right] \stackrel{r_2 \to r_2 - 2r_1, r_3 \to r_3 + r_1}{\sim} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 6 & 5 & 10 \end{array} \right] \stackrel{r_3 \to r_3 - 3r_2}{\sim} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{array} \right]$$

In de laatste matrix zitten pivot-elementen. Een pivot-element is het eerste getal ongelijk aan $0$ in een rij van een rijgereduceerde matrix. Hieronder zijn de pivot-elementen blauw gemaakt:

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} \colorbox{cyan}1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & \colorbox{cyan}2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & \colorbox{cyan}2 & 4 \end{array} \right]$$

Een pivot-variabele is een variabele met een pivot-element in zijn kolom. In dit geval zijn dus $x_1,x_2,x_3$ allemaal pivot-variabelen.

Jordan-eliminatie

Na Gauss-eliminatie kun je nog Jordan-eliminatie toepassen om de matrix terug te brengen tot volledig rijgereduceerde vorm. Dat betekent dat ieder pivot-element gelijk is aan $1$ en iedere kolom met een pivot-element verder alleen nullen bevat.

Jordan-eliminatie gaat als volgt:

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{array} \right] \stackrel{r_3 \to \frac12 r_3}\sim \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right] \stackrel{r_1 \to r_1 + r_3, r_2 \to r_2 - r_3}\sim \\ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right] \stackrel{r_2 \to \frac12 r_2}\sim \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right] \stackrel{r_1 \to r_1 - r_2}\sim \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right]$$

Nu is het stelsel opgelost. We krijgen namelijk de oplossingsverzameling:

$$\left\{ \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} \right\}$$