Rang, dimensie en basis

Afgeleide

De afgeleide van een functie $f$, notatie $f'$, in een punt $a$ is de helling van de functie op dat punt. Voor de afgeleide gelden twee definities:

$$f'(a) = \lim_{h\to0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}h$$

$$f'(a) = \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

Voor de afgeleide van $f(x)$ worden verschillende notaties gebruikt, zoals $f'(x), \dfrac{df}{dx}, \dfrac d{dx}f$.

Integraal

Functie $g$ heet een primitieve van $f$ als $g'(x)=f(x)$.

Bij het integreren bereken je de oppervlakte onder de grafiek. Een bepaalde integraal geeft een oppervlakte, een onbepaalde integraal geeft een functie met een integratieconstante $c\in\R$.

Zo is bijvoorbeeld $\int_0^5 2x dx = \left[\frac12x^2\right]_0^5 = \frac12(5)^2 - \frac12(0)^2 = 12\frac12$.

Hoofdstelling van integraalrekening

Als $F(x)$ een primitieve is van $f(x)$, dan geldt:

$$\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$$