Rang, dimensie en basis

Lineaire combinaties

Een lineaire combinatie $w$ van vectoren $v_1, v_2, ..., v_r$ is een element van het opspansel van deze vectoren. Oftewel, $w$ is te schrijven als:

$$w = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + ... + \lambda_r v_r \quad \text{met } \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_r \in \R$$

We noemen een vector $w$ (lineair) afhankelijk van vectoren $v_1, v_2, ..., v_r$ als $w$ een lineaire combinatie is van deze vectoren. We noemen een vector $w$ (lineair) onafhankelijk van deze vectoren als $w$ niet te schrijven is als een lineaire combinatie van deze vectoren.

We zeggen dat een aantal vectoren $v_1, v_2, ..., v_r$ (lineair) afhankelijk is als ten minste één van deze vectoren lineair afhankelijk is van de overige vectoren. We noemen een stel vectoren (lineair) onafhankelijk als het niet afhankelijk is.

Lineaire relaties

Een vergelijking van de vorm

$$\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + ... + \lambda_r v_r = 0 \quad \text{met } \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_r \in \R$$

noemen we een (lineaire) relatie tussen deze vectoren.

De relatie heet triviaal als $\lambda_i=0$ voor elke $1 \le i \le r$. De relatie heet niet-triviaal als ten minste één $\lambda_i \neq 0$.

Testen voor niet-triviale relaties

Stel we hebben vectoren $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ en $\begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}$. We willen weten of deze vectoren lineair afhankelijk of onafhankelijk zijn, dus of er niet-triviale relaties bestaan.

Dit betekent dat we zoeken naar oplossingen voor het stelsel:

$$\begin{cases} \lambda_1 + \lambda_2 + 3\lambda_3 = 0 \\ \lambda_1 + \lambda_2 + 3\lambda_3 = 0 \\ 2\lambda_2 + 2\lambda_3 = 0 \end{cases}$$

Als we dit in een coëfficiëntenmatrix zetten en Gauss-Jordan-eliminatie toepassen, krijgen we:

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

Omdat $\lambda_3$ geen pivot-variabele is, kiezen we deze vrij, namelijk $\lambda_3 = t$ voor een $t\in\R$. Dit geeft de oplossingsverzameling:

$$\left\{ t \begin{bmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} : t \in \R \right\}$$

Voor dit stelsel bestaat dus een niet-triviale oplossing, dus we concluderen dat dit stel vectoren lineair afhankelijk is.

Omdat we $\lambda_3$ vrij gekozen hebben, kunnen we de derde vector, $\begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}$, weglaten om onafhankelijke vectoren te krijgen.

Rang en dimensie

Laat $S\subseteq\R^n$ met $S\neq\emptyset$. Het grootste getal $r\in\N$ zodat $S$ een $r$-tal onafhankelijke vectoren bevat, noemen we de rang van $S$, notatie $\text{rang}(S)$.

Als $S$ een lineaire deelruimte is van $\R^n$, dan heet de rang van $S$ de dimensie van $S$, notatie $\text{dim}(S)$.

Als $S=\{0\}$, zeggen we dat $\text{dim}(S)=0$.

Basis

Laat $S\in\R^n$. Een eindige deelverzameling $B \subseteq S$ heet een basis van $S$ als:

• De verzameling $B$ bestaat uit onafhankelijke vectoren.
• Elke $v \in S$ te schrijven is als lineaire combinatie van elementen uit $B$, oftewel $S \subseteq \text{Span}(B)$.