Rang van een matrix

Laat $A \in M_{m,n}$. Dan noemen we:

• $\text{dim}(\text{span}(\text{kolommen van } A))$ de kolommenrang van $A$,
• $\text{dim}(\text{span}(\text{rijen van } A))$ de rijenrang van $A$,
• $\text{Nul}(A) = \{ x \in \R^n : Ax=0 \}$ de nulruimte van $A$.

Er geldt dat $\text{span}(\text{kolommen van } A) \subseteq \R^m$ en $\text{span}(\text{rijen van } A), \text{Nul}(A) \subseteq \R^n$.

Vinden van kolommenrang en rijenrang

Als voorbeeld nemen we de matrix:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & -4 \\ -1 & -2 & 2 & 7 \\ 2 & 4 & 0 & -2 \end{bmatrix}$$

Kolommenrang

We willen weten hoeveel basisvectoren het volgende opspansel heeft:

$$\text{span} \left( \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -4 \\ 7 \\ -2 \end{bmatrix} \right)$$

We passen Gauss-Jordan-eliminatie toe en vinden:

$$\begin{bmatrix} \colorbox{cyan}{1} & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & \colorbox{cyan}{1} & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

Er zijn twee pivot-elementen, dus de kolommenrang van de matrix is $2$.

Een basis is:

$$\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}$$

Rijenrang

We willen weten hoeveel basisvectoren het volgende opspansel heeft:

$$\text{span} \left( \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \\ -4 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \\ 2 \\ 7 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \\ -2 \end{bmatrix} \right)$$

Deze drie vectoren noemen we $r_1, r_2, r_3$. Dit opspansel is gelijk aan het volgende opspansel:

$$\text{span}(r_1, r_2 + r_1, r_3 - 2r_1)$$

En dit zijn precies de stappen die we bij Gauss-Jordan-eliminatie hebben gedaan. Als $A'$ de matrix $A$ is na Gauss-Jordan-eliminatie, geldt:

$$\text{span}(\text{rijen van } A) = \text{span}(\text{rijen van } A')$$

Een basis voor $\text{span}(\text{rijen van } A)$ is dus:

$$\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} \right\}$$

Dus de rijenrang van $A$ is $2$.

Rang

De rijenrang is altijd gelijk aan de kolommenrang. Dit getal noemen we de rang van de matrix.

Nulruimte

Voor de nulruimte krijgen we, na Gauss-Jordan-eliminatie, het volgende:

$$\text{Nul}(A) = \left\{ \begin{bmatrix} -2s + t \\ s \\ -3t \\ t \end{bmatrix} : s,t \in \R \right\} = \left\{ s \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix} : s,t \in \R \right\}$$

Een basis van de nulruimte is dus:

$$\left\{ \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$$

De dimensie van de nulruimte is $2$, en dat is precies het aantal kolommen zonder pivot-element.

Dimensiestelling

Neem een matrix $A \in M_{m,n}$. Dan geldt:

$$\begin{aligned} n &= \#\text{kolommen} \\ &= \#\text{kolommen met pivot-element} + \#\text{kolommen zonder pivot-element} \\ &= \text{rang}(A) + \text{dim}(\text{Nul}(A)) \end{aligned}$$

Deze stelling heet de dimensiestelling.