Vectoren in de ruimte

Een vector $v$ kan worden voorgesteld als een "pijl" met een lengte $|v|$ en een richting. Een vector is ook wel een translatie (verschuiving) in de ruimte.

Bewerkingen

Met vectoren kan op de volgende manieren gerekend worden:

1. Optellen: voor vectoren $v$ en $w$ is $v+w$ een nieuwe vector.
2. Aftrekken: voor vectoren $v$ en $w$ is $v-w$ een nieuwe vector.
3. Scalaire vermenigvuldiging: voor vector $v$ en een getal $\lambda\in\R$ is $\lambda v$ een nieuwe vector.

De nulvector $0$ is een vector met lengte $0$ die geen richting heeft. Dit kan worden vergeleken met een stip.

Rekenregels

Voor vectoren $v$ en $w$ en getallen $\lambda,\mu\in\R$ gelden de volgende rekenregels:

• $a + b = b + a$
• $a + (b + c) = (a + b) + c$
• $\lambda (a + b) = \lambda a + \lambda b$
• $(\lambda + \mu) a = \lambda a + \mu a$
• $\lambda (\mu a) = (\lambda \mu) a$

Coördinaten

We gaan een assenstelsel met coördinaten introduceren:

1. Kies een oorsprong $O$, zodat iedere vector begint in $O$.
2. Kies vervolgens drie vectoren $e_1, e_2, e_3$ met lengte $1$ die onderling loodrecht op elkaar liggen.

Nu kan iedere vector $v$ geschreven worden als $v = \lambda_1e_1 + \lambda_2e_2 + \lambda_3e_3$ met $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in\R$. Dit schrijven we op als $v = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \end{bmatrix}$ of $v = (\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$.

Punten, lijnen en vlakken

Nu gaan we de meetkundige objecten punten, lijnen en vlakken als vectoren schrijven.

Punten

Gegeven een oorsprong $O$ en een punt $P$, dan hebben we de vector $OP$ van $O$ naar $P$.

Punt $P$ identificeren we hier met vector $OP$, zodat de termen "punt" en "vector" door elkaar te gebruiken zijn.

Lijnen

Gegeven lijn $l$, dan kun je een richtingsvector $v$ op lijn $l$ en een steunvector $s$ van $O$ naar een punt op $l$ kiezen. Nu is $l$ te schrijven als:

$$l = \{s + \lambda v : \lambda \in \R\}$$

Vlakken

Gegeven een vlak $V$ met vectoren $v$ en $w$ die op dat vlak liggen en een vector $u$ van $O$ naar vlak $V$, kun je het vlak $V$ schrijven als:

$$V = \{u + \lambda_1v + \lambda_2w : \lambda_1,\lambda_2 \in \R \}$$

Voorwaarde is wel dat $v$ en $w$ niet op één lijn liggen. Anders gezegd, er moet geen $\mu\in\R$ bestaan zodat $v=\mu w$.

Multi-dimensionaal

Met deze concepten kunnen we vectoren uitbreiden tot elke dimensie.