Voorbeelden van Gauss-Jordan-eliminatie

We kijken naar twee voorbeelden van Gauss-Jordan-eliminatie.

Voorbeeld 1

Gegeven is het algemene stelsel:

$$\begin{cases} x_1 - 2x_2 = 1 \\ -2x_1 + 4x_2 = a \quad (a\in\R) \end{cases}$$

Dit kunnen we in een uitgebreide coëfficiëntematrix zetten en Gauss-eliminatie toepassen:

$$\left[ \begin{array}{cc|c} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & a \end{array} \right] \stackrel{r_2 \to r_2 + 2r_1}{\sim} \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & a+2 \end{array} \right]$$

Pivot-elementen en Jordan-eliminatie

De pivot-elementen in deze matrix zijn blauw gekleurd:

$$\left[ \begin{array}{cc|c} \colorbox{cyan}1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & a+2 \end{array} \right]$$

Omdat $x_1$ een pivot-element in zijn kolom heeft, is $x_1$ een pivot-variabele. Daarentegen is $x_2$ geen pivot-variabele.

Merk op dat deze matrix volledig rijgereduceerd is, wat betekent dat we geen Jordan-eliminatie meer kunnen toepassen.

Oplossingen

We beschouwen twee gevallen: (1) $a\neq-2$ en (2) $a=-2$.

Voor geval (1) met $a\neq-2$ zien we dat het stelsel geen oplossingen heeft, het stelsel is strijdig. De oplossingsverzameling is hier $\emptyset$.

Voor geval (2) kunnen we $x_2$ vrij kiezen, omdat $x_2$ geen pivot-variabele is. We kiezen $x_2=t$ met $t\in\R$. De eerste rij geeft $x_1-2x_2=1$, dus $x_1=2t+1$. Dit geeft als oplossingsverzameling:

$$\left\{ \begin{bmatrix} 2t+1 \\ t \end{bmatrix} : t\in\R \right\} = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} : t\in\R \right\}$$

Hierin herkennen we de parametervoorstelling van een lijn. We hebben hier dus een hele lijn aan oplossingen.

Voorbeeld 2

Gegeven is het algemene stelsel:

$$\begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_4 = 1 \\ 2x_1 + 4x_2 + x_3 + 4x_4 = 1 \\ -x_1 - 2x_2 + x_3 + x_4 = -2 \end{cases}$$

We stellen een uitgebreide coëfficiëntematrix op en passen Gauss-eliminatie toe:

$$\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 1 & 4 & 1 \\ -1 & -2 & 1 & 1 & -2 \end{array} \right] \stackrel{r_2 \to r_2 - 2r_1, r_3 \to r_3 + r_1}{\sim} \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -1 \end{array} \right] \stackrel{r_3 \to r_3 - r_2}{\sim} \\ \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$$

Merk op dat hier zowel Gauss-eliminatie als Jordan-eliminatie klaar is; de matrix is volledig rijgereduceerd.

Pivot-elementen en oplossingen

De pivot-elementen in deze matrix zijn blauw gekleurd:

$$\left[ \begin{array}{cccc|c} \colorbox{cyan}1 & 2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & \colorbox{cyan}1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$$

De pivot-variabelen zijn hier $x_1$ en $x_3$, dus $x_2$ en $x_4$ mogen we vrij kiezen. We kiezen $x_2=s$ en $x_4=t$ voor $s,t\in\R$.

Er geldt $x_1+2x_2+x_4=1$, dus $x_1=1-2s-t$. Verder $x_3+2x_4=-1$, dus $x_3=-1-2t$. Dit geeft de oplossingsverzameling:

$$\left\{ \begin{bmatrix} 1-2s-t \\ s \\ -1-2t \\ t \end{bmatrix} : s,t\in\R \right\} = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} : s,t\in\R \right\}$$

Hierin herkennen we de parametervoorstelling van een vlak in $\R^4$. We hebben hier dus een heel vlak aan oplossingen.