Benaderen van functies

Voordat we beginnen, voeren we nieuwe notatie in. Met $f^{(k)}(x)$ schrijven we de $k$-de afgeleide van $f(x)$, dus $f^{(1)}(x)=f'(x)$, $f^{(2)}=f''(x)$, $f^{(3)}(x)=f'''(x)$, enzovoorts. Verder stellen we de "nulde afgeleide" gelijk aan $f(x)$: $f^{(0)}=f(x)$.

Lineariseren

Van een functie $f(x)$ willen we de raaklijn $P_1(x)$ opstellen op het punt $x=a$. We krijgen dan:

$$P_1(x) = f(a) + f'(a)(x-a)$$

Deze raaklijn heet een linearisering van $f(x)$ in het steunpunt $a$.

Zo'n linearisering voldoet aan twee eisen:

• $P_1(a) = f(a)$, dus $P_1$ en $f$ hebben dezelfde waarde op $x=a$
• $P_1'(a) = f'(a)$, dus $P_1$ en $f$ hebben dezelfde helling op $x=a$

Tweedegraads benadering

Voor een tweedegraads benadering $P_2(x)$ van $f(x)$ gaan we nog een eis toevoegen:

• $P_2''(a) = f''(a)$, dus $P_2$ en $f$ hebben dezelfde kromming op $x=a$

Het functievoorschrift van $P_2$ ziet er dan zo uit:

$$P_2(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \tfrac12f''(a)(x-a)^2$$

Taylorbenadering van orde $n$

Voor betere benaderingen kunnen we voor een steeds hogere $n$ een functie $P_n(x)$ opstellen.

In het algemeen geldt:

$$\begin{aligned} P_n(x) &= f(a) + f'(a)(x-a) + \tfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \tfrac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + ... + \tfrac{f^{n}(a)}{n!}(x-a)^n \\ &= \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \end{aligned}$$

Oneindige sommen

We kunnen een taylorbenadering opstellen met $n\to\infty$. Dan krijgen we:

$$\begin{aligned} P_n(x) &= f(a) + f'(a)(x-a) + \tfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \tfrac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + ... \\ &= \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \end{aligned}$$

Nu kunnen we formules opstellen voor "standaardsommen":

$$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...$$

$$\log(x+1) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ...$$

$$\frac1{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + ... \quad \text{ voor } |x| < 1$$

$$\sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ...$$

$$\cos(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - ...$$