Jeroen's Studie Archief

Home

Vakken

Infinitesimaalrekening

7 oktober 2024
Differentiaalvergelijkingen

Een differentiaalvergelijking is een vergelijking met daarin een afgeleide. Een voorbeeld van een differentiaalvergelijking is $dydx=0.01y\frac{dy}{dx} = 0.01y$ . We weten dat voor $y=e^{0.01x}$ geldt dat $dydx=0.01e0.01x=0.01y\frac{dy}{dx}=0.01e^{0.01x}=0.01y$ , dus $y=e^{0.01x}$ is een oplossing. Verder weten we dat voor $y=ce^{0.01x}$ geldt dat $dydx=0.01ce0.01x=0.01y\frac{dy}{dx} = 0.01ce^{0.01x}=0.01y$ , dus voor iedere $c∈Rc\in\R$ is $y=ce^{0.01x}$ een oplossing. Een manier om differentiaalvergelijkingen op te lossen is "scheiden". Je schrijft de vergelijking dan in de volgende vorm, waarna je kunt integreren: $f (x) d x = g (y) d y$ Voorbeeld Gegeven is de differentiaalvergelijking $dydx=−4xy2\frac{dy}{dx}=-4xy^2$ met $y (0) = 1$ . Dit geeft: $\frac{1}{y^2}dy = -4x dx$ $\int \frac{1}{y^2} dy = \int -4x dx$ $-\frac1y = -2x^2 + C$ $\frac1{2x^2 - C}$ Invullen van $y (0) = 1$ geeft $C = - 1$ , dus de oplossing is $\dfrac1{2x^2+1}$ . Een andere manier om differentiaalvergelijkingen op te lossen is door te vermenigvuldigen met de integrerende factor. Dit kan als de differentiaalvergelijking van de volgende vorm is: $\tfrac{dy}{dx} + a(x)y = f(x)$ Je vermenigvuldigt de hele vergelijking met $u=e∫a(x)dxu=e^{\int a(x) dx}$ . Voorbeeld Gegeven is de differentiaalvergelijking $dydx+3x2y=6x2\frac{dy}{dx} + 3x^2y = 6x^2$ . Laat $u=e∫3x2dx=ex3u=e^{\int 3x^2 dx}=e^{x^3}$ . Als we de hele vergelijking vermenigvuldigen met $u$ krijgen we: $\tfrac{dy}{dx} e^{x^3} + 3x^2 e^{x^3} y = 6x^2 e^{x^3}$ Nu is de linkerkant van de vergelijking gelijk aan $uy'+u'y = (uy)' = (e^{x^3}y)'$ . We integreren aan beide kanten: $\int (e^{x^3}y)' dx = \int 6x^2 e^{x^3} dx$ $e^{x^3}y = 2e^{x^3} + C$ $y = 2 + Ce^{-x^3}$
3 oktober 2024
Goniometrie

Een existentiële bewering is van de vorm $∃x∈S:P(x)\exists x \in S : P(x)$ . Hier is het genoeg om één geval te noemen. Stelling $\exists x \in \Z : x^3 = x^2$ Bewijs Aangezien $1^3=1^2$ , heeft het getal $1$ de gewenste eigenschap. QED. Bij een existentiëel bewijs is het niet nodig om een expliciet voorbeeld te geven, impliciet kan ook. Stelling $∃a,b∈R\Q:ab∈Q \exists a,b \in \R \backslash \mathbb Q : a^b \in \mathbb Q$ Bewijs Beschouw het getal $(2)2(\sqrt2)^{\sqrt2}$ . Dit getal is (1) rationaal of (2) irrationaal. (1) Als $(2)2(\sqrt2)^{\sqrt2}$ rationaal is, kiezen we $a=b=2a=b=\sqrt2$ . Dan is $a^b$ rationaal. (2) Als $(2)2(\sqrt2)^{\sqrt2}$ irrationaal is, kiezen we $a=(2)2a=(\sqrt2)^{\sqrt2}$ en $b=2b=\sqrt2$ . Dan is $ab=((2)2)2=(2)2=2∈Qa^b = \left((\sqrt2)^{\sqrt2}\right)^{\sqrt2} = (\sqrt2)^2 = 2 \in \mathbb Q$ . QED. Als $A$ een verzameling is, zeggen we dat $\in A$ uniek wordt bepaald door een eigenschap $P (x)$ precies als $a=b\forall a,b \in A : (P(a) \land P(b)) \implies a = b$ . Stelling Voor elke $x∈Rx\in\R$ met $x > 0$ bestaat er een unieke $y∈Ry\in\R$ zodat $y > 0$ en $y^2=x$ . Bewijs We bewijzen (1) dat zo'n $y$ bestaat en (2) dat die $y$ uniek is. (1) Kies $y=xy=\sqrt x$ . Dan geldt $y^2=x$ , zoals gewenst. (2) Laat $x∈Rx\in\R$ met $x > 0$ . Stel dat $y,y′∈Ry,y'\in\R$ met $y, y^{'} > 0$ voldoen aan $y^2=x$ en $y'^2=x$ . Dan geldt $y^2=y'^2$ . En omdat $y, y^{'} > 0$ geldt ook dat $y = y^{'}$ . Voor het weerleggen van een existentiële bewering bewijzen we dat de negatie waar is. Stelling Bewijs dat $¬(∃n∈Z:2∣n3−n+1)\lnot \big( \exists n \in \Z : 2 | n^3-n+1 \big)$ . Bewijs We bewijzen dat $∀n∈Z:2∤n3−n+1\forall n \in \Z : 2 \nmid n^3-n+1$ , waarbij we de gevallen onderscheiden (1) $2∣ n$ en (2) $\nmid n$ . (1) We nemen aan dat $2∣ n$ . Dan bestaat er een $k∈Zk\in\Z$ zodat $n = 2 k$ . Invullen geeft $n^3-n+1=(2k)^3-2k+1=8k^3-2k+1=2(4k^3-k)+1$ . Omdat $4k3−k∈Z4k^3-k\in\Z$ , geldt dat $2(4k^3-k)+1=n^3-n+1$ oneven is. (2) We nemen aan dat $\nmid n$ . Dan bestaat er een $k∈Zk\in\Z$ zodat $n = 2 k + 1$ . Invullen geeft $n^3-n+1=(2k+1)^3-(2k+1)+1=8k^3+2k^2+4k+1=2(4k^3+k^2+2k)+1$ . Omdat $4k3+k2+2k∈Z4k^3+k^2+2k\in\Z$ , geldt dat $2(4k^3+k^2+2k)+1=n^3-n+1$ oneven is. QED. Voor $x∈Rx\in\R$ is de ceiling van $x$ , notatie $⌈x⌉\lceil x \rceil$ , het kleinste gehele getal $a∈Za\in\Z$ zodat $\le a$ . Voorbeelden $\lceil 2.9 \rceil = 3, \quad \lceil -1.5 \rceil = -1, \quad \lceil 4 \rceil = 4$ Laat $\subseteq \R$ . Een element $\in A$ is een kleinste element of minimum van $A$ als $∀y∈A:y≥x\forall y \in A : y \ge x$ . Opmerking: een kleinste element hoeft niet te bestaan. De verzameling $Z\Z$ bijvoorbeeld heeft geen kleinste element. Stelling Een kleinste element is uniek. Bewijs Laat $x,y∈Ax,y\in A$ kleinste elementen zijn van $A$ . Omdat $x$ een kleinste element is, geldt $\ge x$ . Maar omdat $y$ een kleinste element is, geldt ook $\ge y$ . Hieruit volgt dus dat $x = y$ . QED. Een verzameling $S$ is gewelordend als elke niet-lege deelverzameling van $S$ een kleinste element heeft. Per axioma nemen we aan dat $N\N$ gewelordend is. Stelling Laat $P (n)$ een open bewering zijn met domein $N\N$ . Als (1) $P (1)$ is waar, en (2) $\implies P(k+1)$ is waar voor alle $k∈Nk\in\N$ , dan is $P (n)$ waar voor alle $n∈Nn\in\N$ . Bewijs We bewijzen dit met contradictie. Neem aan dat (1) en (2) allebei waar zijn, maar er een $a∈Na\in\N$ bestaat zodat $P (a)$ niet waar is. We beschouwen de verzameling $S={n∈N:¬P(n)}S=\{ n \in \N : \lnot P(n) \}$ . Omdat er een $a∈Na\in\N$ bestaat waarvoor $P (a)$ niet waar is, geldt $\neq \emptyset$ . Omdat $N\N$ gewelordend is heeft $S$ een kleinste element $\in S$ . Omdat $\notin S$ vanwege (1), geldt $\ge 2$ , en dus geldt $s−1∈Ns-1\in\N$ . Omdat $s$ het kleinste element is van $S$ , geldt dat $\notin S$ en dus geldt $P (s - 1)$ is waar. Maar dan is $P (s)$ waar vanwege (2), en geldt dus $\notin S$ . Dit is een contradictie. QED. Stelling $\forall n \in \N : 1 + 2 + ... + n = \tfrac12n(n+1)$ Bewijs Met inductie op $n$ , bewijzen we (1) $\tfrac12(1)(1+1)$ en (2) $\tfrac12k(k+1) \implies 1 + 2 + ... + k + (k+1) = \tfrac12(k+1)(k+2)$ voor elke $k∈Nk\in\N$ . (1) Er geldt $12(1)(1+1)=12⋅2=1\tfrac12(1)(1+1) = \tfrac12 \cdot 2 = 1$ . (2) Neem aan dat $\tfrac12k(k+1)$ voor elke $k∈Nk\in\N$ . Tel nu aan beide kanten $k + 1$ op: $\begin{aligned} 1 + 2 + ... + k + (k+1) &= \tfrac12k(k+1) + (k+1) \\ &= (k+1)(\tfrac12k+1) \\ &= \tfrac12(k+1)(k+2) \end{aligned}$ Hiermee is de inductie voltooid. QED. Bij inductie hoef je niet bij $n = 1$ te beginnen. Je kan bij ieder natuurlijk getal beginnen. Stelling Voor elke $n∈Nn\in\N$ met $n≥5n\ge5$ , geldt $2^n>n^2$ . Bewijs Met inductie op $n$ , bewijzen we (1) $2^5>5^2$ en (2) $2k+1>(k+1)22^k>k^2 \implies 2^{k+1}>(k+1)^2$ voor elke $k∈Nk\in\N$ met $k≥5k\ge5$ . (1) Er geldt $2^5 = 32 > 25 = 5^2$ . (2) Neem aan dat $2^k>k^2$ voor elke $k∈Nk\in\N$ met $k≥5k\ge5$ . Dan geldt: $\begin{aligned} 2^{k+1} &= 2 \cdot 2^k \stackrel{IH}{>} 2k^2 = k^2 + k^2 = k^2 + kk \ge k^2 + 5k \\ &= k^2 + 2k + 3k > k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2 \end{aligned}$ Hiermee is de inductie voltooid. QED.
30 september 2024
Logaritmisch differentiëren

Voor sommige functies is het handig om de logaritme te differentiëren in plaats van de functie zelf. Dit is vooral handig als de functie $f$ de vorm heeft van $f (x) = g (x) h (x)$ of $f(x) = g(x)^{h(x)}$ . In deze gevallen bepaal je eerst de logaritme van de functie, en bereken je daarna de afgeleide via: $\cdot \tfrac{d}{dx} \big(\log(f(x)\big)$ Voorbeeld Gegeven is $f(x) = (6x+1)^5(x^4-3)^6$ . Dan is $log(f(x)) = 5\log(6x+1) + 6\log(x^4-3)$ . Dit geeft: $(6x+1)^5(x^4-3)^6 \left( \frac{30}{6x+1} + \dfrac{24x^3}{x^4-3} \right)$
23 september 2024
Benaderen van functies

Voordat we beginnen, voeren we nieuwe notatie in. Met $f^{(k)}(x)$ schrijven we de $k$ -de afgeleide van $f (x)$ , dus $f^{(1)}(x)=f'(x)$ , $f^{(2)}=f''(x)$ , $f^{(3)}(x)=f'''(x)$ , enzovoorts. Verder stellen we de "nulde afgeleide" gelijk aan $f (x)$ : $f^{(0)}=f(x)$ . Van een functie $f (x)$ willen we de raaklijn $P_1(x)$ opstellen op het punt $x = a$ . We krijgen dan: $P_1(x) = f(a) + f'(a)(x-a)$ Deze raaklijn heet een linearisering van $f (x)$ in het steunpunt $a$ . Zo'n linearisering voldoet aan twee eisen: $P_1(a) = f(a)$ , dus $P_1$ en $f$ hebben dezelfde waarde op $x = a$ $P_1'(a) = f'(a)$ , dus $P_1$ en $f$ hebben dezelfde helling op $x = a$ Voor een tweedegraads benadering $P_2(x)$ van $f (x)$ gaan we nog een eis toevoegen: $P_2''(a) = f''(a)$ , dus $P_2$ en $f$ hebben dezelfde kromming op $x = a$ Het functievoorschrift van $P_2$ ziet er dan zo uit: $P_2(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \tfrac12f''(a)(x-a)^2$ Taylorbenadering van orde $n$ Voor betere benaderingen kunnen we voor een steeds hogere $n$ een functie $P_n(x)$ opstellen. In het algemeen geldt: $\begin{aligned} P_n(x) &= f(a) + f'(a)(x-a) + \tfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \tfrac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + ... + \tfrac{f^{n}(a)}{n!}(x-a)^n \\ &= \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \end{aligned}$ We kunnen een taylorbenadering opstellen met $n→∞n\to\infty$ . Dan krijgen we: $\begin{aligned} P_n(x) &= f(a) + f'(a)(x-a) + \tfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \tfrac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + ... \\ &= \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \end{aligned}$ Nu kunnen we formules opstellen voor "standaardsommen": $e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...$ $\log(x+1) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ...$ $\frac1{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + ... \quad \text{ voor } |x| < 1$ $\sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ...$ $\cos(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - ...$
19 september 2024
Afgeleide en integraal

De afgeleide van een functie $f$ , notatie $f^{'}$ , in een punt $a$ is de helling van de functie op dat punt. Voor de afgeleide gelden twee definities: $\lim_{h\to0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}h$ $\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ Voor de afgeleide van $f (x)$ worden verschillende notaties gebruikt, zoals $\dfrac{df}{dx}, \dfrac d{dx}f$ . Functie $g$ heet een primitieve van $f$ als $g^{'} (x) = f (x)$ . Bij het integreren bereken je de oppervlakte onder de grafiek. Een bepaalde integraal geeft een oppervlakte, een onbepaalde integraal geeft een functie met een integratieconstante $c∈Rc\in\R$ . Zo is bijvoorbeeld $\int_0^5 2x dx = \left[\frac12x^2\right]_0^5 = \frac12(5)^2 - \frac12(0)^2 = 12\frac12$ . Als $F (x)$ een primitieve is van $f (x)$ , dan geldt: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$
16 september 2024
Limieten

Met een limiet kun je waardes van een functie vinden op plekken die niet in zijn domein liggen. De functie $f (x)$ gaat naar de limiet $b$ voor $x$ gaat naar $a$ , als het mogelijk is om $f (x)$ willekeurig dicht bij $b$ te krijgen door $x$ maar dicht genoeg bij $a$ te kiezen. We schrijven dan: $\lim_{x \to a} f(x) = b$ Soms is het handig om naar de limiet vanaf maar één zijde te kijken, namelijk voor $x < a$ of $x > a$ . Daarom zijn er: De linkerlimiet, notatie $\lim_{x \uparrow a} f(x)$ De rechterlimiet, notatie $\lim_{x \downarrow a} f(x)$ Alleen als $\lim_{x \uparrow a} f(x) = \lim_{x \downarrow a} f(x)$ geldt dat de limiet $\lim_{x \to a} f(x)$ bestaat. Stel $\lim_{x \to a} f(x) = \alpha$ en $\lim_{x \to a} g(x) = \beta$ voor $\alpha, \beta \in \R$ , dan gelden de volgende regels: $\lim_{x \to a}\big( f(x) + g(x) \big) = \alpha + \beta$ $\lim_{x \to a}\big( f(x) \cdot g(x) \big) = \alpha \cdot \beta$ $\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac \alpha \beta$ , mits $\beta \neq 0$ $\lim_{x \to a} f(g(x)) = \lim_{x \to \beta} f(x)$ Dit zijn enkele technieken om een limiet te vinden. Het onder en boven delen door een gemeenschappelijke factor. Voorbeeld $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x - 2}{x^2 - x} = \lim_{x \to 1} \frac{(x+2)(x-1)}{x(x-1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x+2}x = \frac31 = 3$ Het onder en boven delen door de hoogste macht. Dit werkt vooral goed als het een limiet naar $±∞\pm \infty$ is. Voorbeeld $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^3+2x+4}{5x^3-3x^2+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2+\frac2{x^2}+\frac4{x^3}}{5-\frac3x+\frac1{x^3}} = \frac{2 + 0 + 0}{5 + 0 + 0} = \frac25$ Door onder en boven te vermenigvuldigen met het geconjugeerde kun je van wortels in de teller of noemer afkomen. Voorbeeld $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2+9}-3}{x^2} \cdot \frac{\sqrt{t^2+9}+3}{\sqrt{t^2+9}+3} = \lim_{x \to 0} \frac{t^2+9-9}{t^2(\sqrt{t^2+9}+3)} = \lim_{x \to 0} \frac1{\sqrt{t^2+9}+3} = \frac16$ Als voor elke $x$ geldt dat $\le f(x) \le h(x)$ en $lim⁡x→ag(x)=lim⁡x→ah(x)=L\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$ , dan is ook $\lim_{x \to a} f(x) = L$ . De insluitstelling kun je meestal gebruiken bij sinus of cosinus. Voorbeeld Omdat $−1≤sin⁡(1x)≤1-1\le\sin(\frac1x)\le1$ , geldt dat $−x≤xsin⁡(1x)≤x-x\le x\sin(\frac1x)\le x$ . En omdat $lim⁡x→0x=lim⁡x→0−x=0\lim_{x \to 0} x = \lim_{x \to 0} -x = 0$ , geldt ook $lim⁡x→0xsin⁡(1x)=0\lim_{x \to 0} x\sin(\frac1x) = 0$ . Een functie $f (x)$ is continu in $a$ als $lim⁡x→af(x)\lim_{x \to a} f(x)$ bestaat en gelijk is aan $f (a)$ . Een functie is continu als het op ieder punt uit zijn domein continu is.
9 september 2024
Complexe getallen

De complexe getallen, aangegeven met $C\Complex$ , is een getalverzameling. Het volgt dezelfde algebra met dezelfde regels als $R\R$ , met de toevoeging dat $i^2=-1$ . Een complex getal $z$ wordt dan geschreven als $a + bi$ , waarbij $a,b∈Ra,b\in\R$ . In dit geval heet $a$ het reële deel van $z$ , notatie $Re(z)\text{Re}(z)$ . En $b$ heet het imaginaire deel van $z$ , notatie $Im(z)\text{Im}(z)$ . In het complexe vlak kan ieder complex getal getekend worden. De verticale as is voor het imaginaire deel, de horizontale as voor het reële deel. Van een complex getal $z = a + bi$ is de modulus, notatie $∣ z ∣$ , gelijk aan de afstand van $z$ tot $0$ . Deze is dan te berekenen met de stelling van Pythagoras: $\sqrt{a^2 + b^2}$ Het argument van $z$ , notatie $arg⁡(z)\arg(z)$ , is de hoek die $z$ maakt t.o.v. de oorsprong. We spreken af dat $−π≤arg⁡(z)≤π-\pi \leq \arg(z) \leq \pi$ . Met goniometrie kan worden gevonden dat: $\tan(\arg(z)) = \frac ba$ De complex geconjugeerde van $z$ , notatie $z‾=a+bi‾\overline z = \overline{a+bi}$ , is gelijk aan $a - bi$ . Er geldt dus $Re(z‾)=Re(z)\text{Re}(\overline z) = \text{Re}(z)$ , $Im(z‾)=−Im(z)\text{Im}(\overline z) = -\text{Im}(z)$ en $∣z‾∣=∣z∣|\overline z| = |z|$ . Als voor een complex getal $\neq 0$ geldt dat $r = ∣ z ∣$ en $θ=arg⁡(z)\theta=\arg(z)$ , dan geldt ook dat $cos⁡(θ)=ar\cos(\theta) = \frac ar$ en $sin⁡(θ)=br\sin(\theta) = \frac br$ . Hiermee kunnen we $z$ schrijven als: $\cos(\theta) + ir \sin(\theta)$ De getallen $r$ en $θ\theta$ heten dan de poolcoördinaten van $z$ . Complexe $e$ -machten Voor elk reël getal $x$ is de complexe exponentiële functie $e^{xi}$ gelijk aan: $e^{xi} = \cos(x) + i\sin(x)$ Hieruit volgt dat het complexe getal $z = a + bi$ kan worden geschreven als: $\cos(\theta) + ir \sin(\theta) = r\big(\cos(\theta)+i\sin(\theta)\big) = re^{\theta i}$ Voor complexe getallen $z$ en $w$ gelden de volgende eigenschappen: $\overline{z+w} = \overline z + \overline w$ $\overline{zw} = \overline z \space \overline w$ $\space \overline z = |z|^2$ $∣ z w ∣ = ∣ z ∣∣ w ∣$ $\arg(zw) = \arg(z) + \arg(w)$ Hier is een voorbeeld-opgave over de macht van een complex getal. Opgave Schrijf $1+i)^7$ in de vorm $a + bi$ . Uitwerking We weten dat $∣1+i∣=12+12=2|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$ en $arg⁡(1+i)=arctan⁡(11)=14π\arg(1+i)=\arctan(\frac11)=\frac14\pi$ . Hiermee kunnen we $1 + i$ schrijven als $2e14πi\sqrt2 e^{\frac14\pi i}$ . Nu geldt: $\begin{aligned} (1+i)^7 &= \big(\sqrt2 e^{\frac14\pi i}\big)^7 = 8\sqrt2 e^{\frac74\pi i} = 8\sqrt2 e^{-\frac14\pi i} \\ &= 8\sqrt2 \big(\cos(-\tfrac14\pi) + i\sin(-\tfrac14\pi)\big) \\ &= 8\sqrt2 \big(\tfrac12\sqrt2 - \tfrac12i\sqrt2\big) \\ &= 8-8i \end{aligned}$ En hier is een voorbeeld-opgave over de complexe oplossingen van een vergelijking. Opgave Vind alle oplossingen voor de vergelijking $z^6=1$ . Uitwerking Schrijf $z=reθiz=re^{\theta i}$ . We weten $z^6|=|1|=1$ en $arg(z^6)=\arg(1)=0$ . Verder weten we dat: $\arg(z^6) = \arg\big((re^{\theta i})^6\big) = \arg\big(r^6e^{6\theta i}\big) = 6\theta$ Hieruit volgt dat $6θ=0+2kπ6\theta=0+2k\pi$ voor $k∈Zk\in\Z$ , en dus dat $θ=13kπ\theta=\tfrac13k\pi$ . Hiermee kunnen we ten slotte de oplossingen vinden: $e^{0i} = 1, \quad\quad e^{\frac13\pi i} = \tfrac12 + \tfrac12i\sqrt3, \quad \quad e^{\frac23\pi i} = -\tfrac12 + \tfrac12i\sqrt3, \\ e^{\pi i} = -1, \quad\quad e^{\frac43\pi i} = -\tfrac12-\tfrac12i\sqrt3, \quad\quad e^{\frac53\pi i} = \tfrac12-\tfrac12i\sqrt3$

Gemaakt door Jeroen van Rensen.