Jeroen's Studie Archief

Home

Vakken

Infinitesimaalrekening

7 oktober 2024
Differentiaalvergelijkingen

Een differentiaalvergelijking is een vergelijking met daarin een afgeleide. Een voorbeeld van een differentiaalvergelijking is $dydx=0.01y\frac{dy}{dx} = 0.01y$ . We weten dat voor $y=e^{0.01x}$ geldt dat $dydx=0.01e0.01x=0.01y\frac{dy}{dx}=0.01e^{0.01x}=0.01y$ , dus $y=e^{0.01x}$ is een oplossing. Verder weten we dat voor $y=ce^{0.01x}$ geldt dat $dydx=0.01ce0.01x=0.01y\frac{dy}{dx} = 0.01ce^{0.01x}=0.01y$ , dus voor iedere $c∈Rc\in\R$ is $y=ce^{0.01x}$ een oplossing. Een manier om differentiaalvergelijkingen op te lossen is "scheiden". Je schrijft de vergelijking dan in de volgende vorm, waarna je kunt integreren: $f (x) d x = g (y) d y$ Voorbeeld Gegeven is de differentiaalvergelijking $dydx=−4xy2\frac{dy}{dx}=-4xy^2$ met $y (0) = 1$ . Dit geeft: $\frac{1}{y^2}dy = -4x dx$ $\int \frac{1}{y^2} dy = \int -4x dx$ $-\frac1y = -2x^2 + C$ $\frac1{2x^2 - C}$ Invullen van $y (0) = 1$ geeft $C = - 1$ , dus de oplossing is $\dfrac1{2x^2+1}$ . Een andere manier om differentiaalvergelijkingen op te lossen is door te vermenigvuldigen met de integrerende factor. Dit kan als de differentiaalvergelijking van de volgende vorm is: $\tfrac{dy}{dx} + a(x)y = f(x)$ Je vermenigvuldigt de hele vergelijking met $u=e∫a(x)dxu=e^{\int a(x) dx}$ . Voorbeeld Gegeven is de differentiaalvergelijking $dydx+3x2y=6x2\frac{dy}{dx} + 3x^2y = 6x^2$ . Laat $u=e∫3x2dx=ex3u=e^{\int 3x^2 dx}=e^{x^3}$ . Als we de hele vergelijking vermenigvuldigen met $u$ krijgen we: $\tfrac{dy}{dx} e^{x^3} + 3x^2 e^{x^3} y = 6x^2 e^{x^3}$ Nu is de linkerkant van de vergelijking gelijk aan $uy'+u'y = (uy)' = (e^{x^3}y)'$ . We integreren aan beide kanten: $\int (e^{x^3}y)' dx = \int 6x^2 e^{x^3} dx$ $e^{x^3}y = 2e^{x^3} + C$ $y = 2 + Ce^{-x^3}$
3 oktober 2024
Goniometrie

We willen inverse functies vinden voor de goniometrische functies $sin⁡(x)\sin(x)$ , $cos⁡(x)\cos(x)$ en $tan⁡(x)\tan(x)$ . Maar omdat deze functies niet bijectief zijn, bestaan er geen inverse functies. We kunnen wel functies definiëren die op een bepaald domein de inversen zijn. We krijgen zo $arcsin⁡(x)\arcsin(x)$ , $arccos⁡(x)\arccos(x)$ en $arctan⁡(x)\arctan(x)$ . Deze tabel geeft een overzicht van de functies: $f (x)$ Domein Bereik $sin⁡(x)\sin(x)$ $R\R$ $[- 1, 1]$ $arcsin⁡(x)\arcsin(x)$ $[- 1, 1]$ $[−12π,12π][-\frac12\pi,\frac12\pi]$ $cos⁡(x)\cos(x)$ $R\R$ $[- 1, 1]$ $arccos⁡(x)\arccos(x)$ $[- 1, 1]$ $[0,π][0,\pi]$ $tan⁡(x)\tan(x)$ $R\R$ $R\R$ $arctan⁡(x)\arctan(x)$ $R\R$ $⟨−12π,12π⟩\langle-\frac12\pi,\frac12\pi\rangle$ Op het domein van de inverse functies geldt dat $sin⁡(arcsin⁡(x))=x\sin(\arcsin(x))=x$ , $cos⁡(arccos⁡(x))=x\cos(\arccos(x))=x$ en $tan⁡(arctan⁡(x))=x\tan(\arctan(x))=x$ . We weten dat voor $−12π≤x≤12π-\frac12\pi \le x \le \frac12\pi$ geldt dat $sin⁡(arcsin⁡(x))=x\sin(\arcsin(x))=x$ . Als we dit aan beide kanten differentiëren, krijgen we: $\tfrac{d}{dx} \sin(\arcsin(x)) = \tfrac{d}{dx} x$ $\cos(\arcsin(x)) \cdot \tfrac{d}{dx} \arcsin(x) = 1$ $\tfrac{d}{dx} \arcsin(x) = \frac1{\cos(\arcsin(x))}$ Deze uitdrukking kunnen we mooier schrijven, door een rechthoekige driehoek te tekenen. We noemen $θ=arcsin⁡(x)\theta = \arcsin(x)$ , waaruit volgt dat $x=sin⁡(θ)=x1x=\sin(\theta)=\frac x1$ . Hiermee kunnen we één zijde van de driehoek $x$ noemen en een andere zijde $1$ . De overgebleven zijde is dan volgens de stelling van Pythagoras gelijk aan $1−x2\sqrt{1-x^2}$ . Hieruit volgt dat $cos⁡(θ)=1−x2=cos⁡(arcsin⁡(x))\cos(\theta)=\sqrt{1-x^2}=\cos(\arcsin(x))$ , dus: $\tfrac{d}{dx} \arcsin(x) = \frac1{\sqrt{1-x^2}}$ Op vergelijkbare wijze krijgen we ook dat: $\tfrac{d}{dx} \arccos(x) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$ $\tfrac{d}{dx} \arctan(x) = \frac{1}{1+x^2}$
30 september 2024
Logaritmisch differentiëren

Voor sommige functies is het handig om de logaritme te differentiëren in plaats van de functie zelf. Dit is vooral handig als de functie $f$ de vorm heeft van $f (x) = g (x) h (x)$ of $f(x) = g(x)^{h(x)}$ . In deze gevallen bepaal je eerst de logaritme van de functie, en bereken je daarna de afgeleide via: $\cdot \tfrac{d}{dx} \big(\log(f(x)\big)$ Voorbeeld Gegeven is $f(x) = (6x+1)^5(x^4-3)^6$ . Dan is $log(f(x)) = 5\log(6x+1) + 6\log(x^4-3)$ . Dit geeft: $(6x+1)^5(x^4-3)^6 \left( \frac{30}{6x+1} + \dfrac{24x^3}{x^4-3} \right)$
23 september 2024
Benaderen van functies

Voordat we beginnen, voeren we nieuwe notatie in. Met $f^{(k)}(x)$ schrijven we de $k$ -de afgeleide van $f (x)$ , dus $f^{(1)}(x)=f'(x)$ , $f^{(2)}=f''(x)$ , $f^{(3)}(x)=f'''(x)$ , enzovoorts. Verder stellen we de "nulde afgeleide" gelijk aan $f (x)$ : $f^{(0)}=f(x)$ . Van een functie $f (x)$ willen we de raaklijn $P_1(x)$ opstellen op het punt $x = a$ . We krijgen dan: $P_1(x) = f(a) + f'(a)(x-a)$ Deze raaklijn heet een linearisering van $f (x)$ in het steunpunt $a$ . Zo'n linearisering voldoet aan twee eisen: $P_1(a) = f(a)$ , dus $P_1$ en $f$ hebben dezelfde waarde op $x = a$ $P_1'(a) = f'(a)$ , dus $P_1$ en $f$ hebben dezelfde helling op $x = a$ Voor een tweedegraads benadering $P_2(x)$ van $f (x)$ gaan we nog een eis toevoegen: $P_2''(a) = f''(a)$ , dus $P_2$ en $f$ hebben dezelfde kromming op $x = a$ Het functievoorschrift van $P_2$ ziet er dan zo uit: $P_2(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \tfrac12f''(a)(x-a)^2$ Taylorbenadering van orde $n$ Voor betere benaderingen kunnen we voor een steeds hogere $n$ een functie $P_n(x)$ opstellen. In het algemeen geldt: $\begin{aligned} P_n(x) &= f(a) + f'(a)(x-a) + \tfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \tfrac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + ... + \tfrac{f^{n}(a)}{n!}(x-a)^n \\ &= \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \end{aligned}$ We kunnen een taylorbenadering opstellen met $n→∞n\to\infty$ . Dan krijgen we: $\begin{aligned} P_n(x) &= f(a) + f'(a)(x-a) + \tfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \tfrac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + ... \\ &= \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \end{aligned}$ Nu kunnen we formules opstellen voor "standaardsommen": $e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...$ $\log(x+1) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ...$ $\frac1{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + ... \quad \text{ voor } |x| < 1$ $\sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ...$ $\cos(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - ...$
19 september 2024
Afgeleide en integraal

De afgeleide van een functie $f$ , notatie $f^{'}$ , in een punt $a$ is de helling van de functie op dat punt. Voor de afgeleide gelden twee definities: $\lim_{h\to0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}h$ $\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ Voor de afgeleide van $f (x)$ worden verschillende notaties gebruikt, zoals $\dfrac{df}{dx}, \dfrac d{dx}f$ . Functie $g$ heet een primitieve van $f$ als $g^{'} (x) = f (x)$ . Bij het integreren bereken je de oppervlakte onder de grafiek. Een bepaalde integraal geeft een oppervlakte, een onbepaalde integraal geeft een functie met een integratieconstante $c∈Rc\in\R$ . Zo is bijvoorbeeld $\int_0^5 2x dx = \left[\frac12x^2\right]_0^5 = \frac12(5)^2 - \frac12(0)^2 = 12\frac12$ . Als $F (x)$ een primitieve is van $f (x)$ , dan geldt: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$
16 september 2024
Limieten

Met een limiet kun je waardes van een functie vinden op plekken die niet in zijn domein liggen. De functie $f (x)$ gaat naar de limiet $b$ voor $x$ gaat naar $a$ , als het mogelijk is om $f (x)$ willekeurig dicht bij $b$ te krijgen door $x$ maar dicht genoeg bij $a$ te kiezen. We schrijven dan: $\lim_{x \to a} f(x) = b$ Soms is het handig om naar de limiet vanaf maar één zijde te kijken, namelijk voor $x < a$ of $x > a$ . Daarom zijn er: De linkerlimiet, notatie $\lim_{x \uparrow a} f(x)$ De rechterlimiet, notatie $\lim_{x \downarrow a} f(x)$ Alleen als $\lim_{x \uparrow a} f(x) = \lim_{x \downarrow a} f(x)$ geldt dat de limiet $\lim_{x \to a} f(x)$ bestaat. Stel $\lim_{x \to a} f(x) = \alpha$ en $\lim_{x \to a} g(x) = \beta$ voor $\alpha, \beta \in \R$ , dan gelden de volgende regels: $\lim_{x \to a}\big( f(x) + g(x) \big) = \alpha + \beta$ $\lim_{x \to a}\big( f(x) \cdot g(x) \big) = \alpha \cdot \beta$ $\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac \alpha \beta$ , mits $\beta \neq 0$ $\lim_{x \to a} f(g(x)) = \lim_{x \to \beta} f(x)$ Dit zijn enkele technieken om een limiet te vinden. Het onder en boven delen door een gemeenschappelijke factor. Voorbeeld $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x - 2}{x^2 - x} = \lim_{x \to 1} \frac{(x+2)(x-1)}{x(x-1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x+2}x = \frac31 = 3$ Het onder en boven delen door de hoogste macht. Dit werkt vooral goed als het een limiet naar $±∞\pm \infty$ is. Voorbeeld $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^3+2x+4}{5x^3-3x^2+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2+\frac2{x^2}+\frac4{x^3}}{5-\frac3x+\frac1{x^3}} = \frac{2 + 0 + 0}{5 + 0 + 0} = \frac25$ Door onder en boven te vermenigvuldigen met het geconjugeerde kun je van wortels in de teller of noemer afkomen. Voorbeeld $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2+9}-3}{x^2} \cdot \frac{\sqrt{t^2+9}+3}{\sqrt{t^2+9}+3} = \lim_{x \to 0} \frac{t^2+9-9}{t^2(\sqrt{t^2+9}+3)} = \lim_{x \to 0} \frac1{\sqrt{t^2+9}+3} = \frac16$ Als voor elke $x$ geldt dat $\le f(x) \le h(x)$ en $lim⁡x→ag(x)=lim⁡x→ah(x)=L\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$ , dan is ook $\lim_{x \to a} f(x) = L$ . De insluitstelling kun je meestal gebruiken bij sinus of cosinus. Voorbeeld Omdat $−1≤sin⁡(1x)≤1-1\le\sin(\frac1x)\le1$ , geldt dat $−x≤xsin⁡(1x)≤x-x\le x\sin(\frac1x)\le x$ . En omdat $lim⁡x→0x=lim⁡x→0−x=0\lim_{x \to 0} x = \lim_{x \to 0} -x = 0$ , geldt ook $lim⁡x→0xsin⁡(1x)=0\lim_{x \to 0} x\sin(\frac1x) = 0$ . Een functie $f (x)$ is continu in $a$ als $lim⁡x→af(x)\lim_{x \to a} f(x)$ bestaat en gelijk is aan $f (a)$ . Een functie is continu als het op ieder punt uit zijn domein continu is.
9 september 2024
Complexe getallen

De complexe getallen, aangegeven met $C\Complex$ , is een getalverzameling. Het volgt dezelfde algebra met dezelfde regels als $R\R$ , met de toevoeging dat $i^2=-1$ . Een complex getal $z$ wordt dan geschreven als $a + bi$ , waarbij $a,b∈Ra,b\in\R$ . In dit geval heet $a$ het reële deel van $z$ , notatie $Re(z)\text{Re}(z)$ . En $b$ heet het imaginaire deel van $z$ , notatie $Im(z)\text{Im}(z)$ . In het complexe vlak kan ieder complex getal getekend worden. De verticale as is voor het imaginaire deel, de horizontale as voor het reële deel. Van een complex getal $z = a + bi$ is de modulus, notatie $∣ z ∣$ , gelijk aan de afstand van $z$ tot $0$ . Deze is dan te berekenen met de stelling van Pythagoras: $\sqrt{a^2 + b^2}$ Het argument van $z$ , notatie $arg⁡(z)\arg(z)$ , is de hoek die $z$ maakt t.o.v. de oorsprong. We spreken af dat $−π≤arg⁡(z)≤π-\pi \leq \arg(z) \leq \pi$ . Met goniometrie kan worden gevonden dat: $\tan(\arg(z)) = \frac ba$ De complex geconjugeerde van $z$ , notatie $z‾=a+bi‾\overline z = \overline{a+bi}$ , is gelijk aan $a - bi$ . Er geldt dus $Re(z‾)=Re(z)\text{Re}(\overline z) = \text{Re}(z)$ , $Im(z‾)=−Im(z)\text{Im}(\overline z) = -\text{Im}(z)$ en $∣z‾∣=∣z∣|\overline z| = |z|$ . Als voor een complex getal $\neq 0$ geldt dat $r = ∣ z ∣$ en $θ=arg⁡(z)\theta=\arg(z)$ , dan geldt ook dat $cos⁡(θ)=ar\cos(\theta) = \frac ar$ en $sin⁡(θ)=br\sin(\theta) = \frac br$ . Hiermee kunnen we $z$ schrijven als: $\cos(\theta) + ir \sin(\theta)$ De getallen $r$ en $θ\theta$ heten dan de poolcoördinaten van $z$ . Complexe $e$ -machten Voor elk reël getal $x$ is de complexe exponentiële functie $e^{xi}$ gelijk aan: $e^{xi} = \cos(x) + i\sin(x)$ Hieruit volgt dat het complexe getal $z = a + bi$ kan worden geschreven als: $\cos(\theta) + ir \sin(\theta) = r\big(\cos(\theta)+i\sin(\theta)\big) = re^{\theta i}$ Voor complexe getallen $z$ en $w$ gelden de volgende eigenschappen: $\overline{z+w} = \overline z + \overline w$ $\overline{zw} = \overline z \space \overline w$ $\space \overline z = |z|^2$ $∣ z w ∣ = ∣ z ∣∣ w ∣$ $\arg(zw) = \arg(z) + \arg(w)$ Hier is een voorbeeld-opgave over de macht van een complex getal. Opgave Schrijf $1+i)^7$ in de vorm $a + bi$ . Uitwerking We weten dat $∣1+i∣=12+12=2|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$ en $arg⁡(1+i)=arctan⁡(11)=14π\arg(1+i)=\arctan(\frac11)=\frac14\pi$ . Hiermee kunnen we $1 + i$ schrijven als $2e14πi\sqrt2 e^{\frac14\pi i}$ . Nu geldt: $\begin{aligned} (1+i)^7 &= \big(\sqrt2 e^{\frac14\pi i}\big)^7 = 8\sqrt2 e^{\frac74\pi i} = 8\sqrt2 e^{-\frac14\pi i} \\ &= 8\sqrt2 \big(\cos(-\tfrac14\pi) + i\sin(-\tfrac14\pi)\big) \\ &= 8\sqrt2 \big(\tfrac12\sqrt2 - \tfrac12i\sqrt2\big) \\ &= 8-8i \end{aligned}$ En hier is een voorbeeld-opgave over de complexe oplossingen van een vergelijking. Opgave Vind alle oplossingen voor de vergelijking $z^6=1$ . Uitwerking Schrijf $z=reθiz=re^{\theta i}$ . We weten $z^6|=|1|=1$ en $arg(z^6)=\arg(1)=0$ . Verder weten we dat: $\arg(z^6) = \arg\big((re^{\theta i})^6\big) = \arg\big(r^6e^{6\theta i}\big) = 6\theta$ Hieruit volgt dat $6θ=0+2kπ6\theta=0+2k\pi$ voor $k∈Zk\in\Z$ , en dus dat $θ=13kπ\theta=\tfrac13k\pi$ . Hiermee kunnen we ten slotte de oplossingen vinden: $e^{0i} = 1, \quad\quad e^{\frac13\pi i} = \tfrac12 + \tfrac12i\sqrt3, \quad \quad e^{\frac23\pi i} = -\tfrac12 + \tfrac12i\sqrt3, \\ e^{\pi i} = -1, \quad\quad e^{\frac43\pi i} = -\tfrac12-\tfrac12i\sqrt3, \quad\quad e^{\frac53\pi i} = \tfrac12-\tfrac12i\sqrt3$

Gemaakt door Jeroen van Rensen.