Complexe getallen

De complexe getallen, aangegeven met $\Complex$, is een getalverzameling. Het volgt dezelfde algebra met dezelfde regels als $\R$, met de toevoeging dat $i^2=-1$.

Een complex getal $z$ wordt dan geschreven als $a+bi$, waarbij $a,b\in\R$. In dit geval heet $a$ het reële deel van $z$, notatie $\text{Re}(z)$. En $b$ heet het imaginaire deel van $z$, notatie $\text{Im}(z)$.

Complexe vlak

In het complexe vlak kan ieder complex getal getekend worden. De verticale as is voor het imaginaire deel, de horizontale as voor het reële deel.

Modulus, argument en geconjugeerde

Van een complex getal $z=a+bi$ is de modulus, notatie $|z|$, gelijk aan de afstand van $z$ tot $0$. Deze is dan te berekenen met de stelling van Pythagoras:

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Het argument van $z$, notatie $\arg(z)$, is de hoek die $z$ maakt t.o.v. de oorsprong. We spreken af dat $-\pi \leq \arg(z) \leq \pi$. Met goniometrie kan worden gevonden dat:

$$\tan(\arg(z)) = \frac ba$$

De complex geconjugeerde van $z$, notatie $\overline z = \overline{a+bi}$, is gelijk aan $a-bi$. Er geldt dus $\text{Re}(\overline z) = \text{Re}(z)$, $\text{Im}(\overline z) = -\text{Im}(z)$ en $|\overline z| = |z|$.

Poolcoördinaten

Als voor een complex getal $z \neq 0$ geldt dat $r=|z|$ en $\theta=\arg(z)$, dan geldt ook dat $\cos(\theta) = \frac ar$ en $\sin(\theta) = \frac br$. Hiermee kunnen we $z$ schrijven als:

$$z = a + bi = r \cos(\theta) + ir \sin(\theta)$$

De getallen $r$ en $\theta$ heten dan de poolcoördinaten van $z$.

Complexe $e$-machten

Voor elk reël getal $x$ is de complexe exponentiële functie $e^{xi}$ gelijk aan:

$$e^{xi} = \cos(x) + i\sin(x)$$

Hieruit volgt dat het complexe getal $z=a+bi$ kan worden geschreven als:

$$z = a + bi = r \cos(\theta) + ir \sin(\theta) = r\big(\cos(\theta)+i\sin(\theta)\big) = re^{\theta i}$$

Eigenschappen

Voor complexe getallen $z$ en $w$ gelden de volgende eigenschappen:

• $\overline{z+w} = \overline z + \overline w$
• $\overline{zw} = \overline z \space \overline w$
• $z \space \overline z = |z|^2$
• $|zw| = |z||w|$
• $\arg(zw) = \arg(z) + \arg(w)$

Voorbeeld-opgaven

Hier is een voorbeeld-opgave over de macht van een complex getal.

En hier is een voorbeeld-opgave over de complexe oplossingen van een vergelijking.