Infinitesimaalrekening 7 oktober 2024

Differentiaalvergelijkingen

Een differentiaalvergelijking is een vergelijking met daarin een afgeleide.

Een voorbeeld van een differentiaalvergelijking is $\frac{dy}{dx} = 0.01y$ . We weten dat voor $y=e^{0.01x}$ geldt dat $\frac{dy}{dx}=0.01e^{0.01x}=0.01y$ , dus $y=e^{0.01x}$ is een oplossing.

Verder weten we dat voor $y=ce^{0.01x}$ geldt dat $\frac{dy}{dx} = 0.01ce^{0.01x}=0.01y$ , dus voor iedere $c\in\R$ is $y=ce^{0.01x}$ een oplossing.

Scheiden

Een manier om differentiaalvergelijkingen op te lossen is "scheiden". Je schrijft de vergelijking dan in de volgende vorm, waarna je kunt integreren:

$f(x)dx = g(y)dy$

Voorbeeld

Gegeven is de differentiaalvergelijking $\frac{dy}{dx}=-4xy^2$ met $y(0)=1$ . Dit geeft:

$\frac{1}{y^2}dy = -4x dx$

$\int \frac{1}{y^2} dy = \int -4x dx$

$-\frac1y = -2x^2 + C$

$y = \frac1{2x^2 - C}$

Invullen van $y(0) = 1$ geeft $C=-1$ , dus de oplossing is $y = \dfrac1{2x^2+1}$ .

Vermenigvuldigen met integrerende factor

Een andere manier om differentiaalvergelijkingen op te lossen is door te vermenigvuldigen met de integrerende factor. Dit kan als de differentiaalvergelijking van de volgende vorm is:

$\tfrac{dy}{dx} + a(x)y = f(x)$

Je vermenigvuldigt de hele vergelijking met $u=e^{\int a(x) dx}$ .

Voorbeeld

Gegeven is de differentiaalvergelijking $\frac{dy}{dx} + 3x^2y = 6x^2$ .

Laat $u=e^{\int 3x^2 dx}=e^{x^3}$ . Als we de hele vergelijking vermenigvuldigen met $u$ krijgen we:

$\tfrac{dy}{dx} e^{x^3} + 3x^2 e^{x^3} y = 6x^2 e^{x^3}$

Nu is de linkerkant van de vergelijking gelijk aan $uy'+u'y = (uy)' = (e^{x^3}y)'$ .

We integreren aan beide kanten:

$\int (e^{x^3}y)' dx = \int 6x^2 e^{x^3} dx$

$e^{x^3}y = 2e^{x^3} + C$

$y = 2 + Ce^{-x^3}$