Limieten

Met een limiet kun je waardes van een functie vinden op plekken die niet in zijn domein liggen.

De functie $f(x)$ gaat naar de limiet $b$ voor $x$ gaat naar $a$, als het mogelijk is om $f(x)$ willekeurig dicht bij $b$ te krijgen door $x$ maar dicht genoeg bij $a$ te kiezen. We schrijven dan:

$$\lim_{x \to a} f(x) = b$$

Linker- en rechterlimiet

Soms is het handig om naar de limiet vanaf maar één zijde te kijken, namelijk voor $x<a$ of $x>a$. Daarom zijn er:

• De linkerlimiet, notatie $\lim_{x \uparrow a} f(x)$
• De rechterlimiet, notatie $\lim_{x \downarrow a} f(x)$

Alleen als $\lim_{x \uparrow a} f(x) = \lim_{x \downarrow a} f(x)$ geldt dat de limiet $\lim_{x \to a} f(x)$ bestaat.

Rekenregels voor limieten

Stel $\lim_{x \to a} f(x) = \alpha$ en $\lim_{x \to a} g(x) = \beta$ voor $\alpha, \beta \in \R$, dan gelden de volgende regels:

• $\lim_{x \to a}\big( f(x) + g(x) \big) = \alpha + \beta$
• $\lim_{x \to a}\big( f(x) \cdot g(x) \big) = \alpha \cdot \beta$
• $\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac \alpha \beta$, mits $\beta \neq 0$
• $\lim_{x \to a} f(g(x)) = \lim_{x \to \beta} f(x)$

Limieten vinden

Dit zijn enkele technieken om een limiet te vinden.

Gemeenschappelijke factor

Het onder en boven delen door een gemeenschappelijke factor.

Delen door de hoogste macht

Het onder en boven delen door de hoogste macht. Dit werkt vooral goed als het een limiet naar $\pm \infty$ is.

Wortels wegrationaliseren

Door onder en boven te vermenigvuldigen met het geconjugeerde kun je van wortels in de teller of noemer afkomen.

Insluitstelling

Als voor elke $x$ geldt dat $g(x) \le f(x) \le h(x)$ en $\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$, dan is ook $\lim_{x \to a} f(x) = L$.

De insluitstelling kun je meestal gebruiken bij sinus of cosinus.

Continuïteit

Een functie $f(x)$ is continu in $a$ als $\lim_{x \to a} f(x)$ bestaat en gelijk is aan $f(a)$. Een functie is continu als het op ieder punt uit zijn domein continu is.