Galilei-transformaties en Doppler-effect

Van een object $P$ in de ruimte kun je een vector $r_P=(x,y,z)$ opstellen. Deze vector is een functie van tijd: $r_P(t)$. De snelheid van $P$, $u_P$, is dan gelijk aan $\dfrac{dr_P}{dt}$. Let op: deze snelheid is relatief tot een oorsprong $O$.

Een nieuw assenstelsel

Nu introduceren we een nieuw assenstelsel met een nieuwe oorsprong: $O'$. We schrijven de plaatsvector van ons object nu als $r_P'(t) = (x',y',z')$ en de snelheidsvector als $u_P'=\dfrac{dr_P'}{dt}$.

Twee assenstelsels heten inertiaalstelsels als ze niet onderling versnellend zijn (dus t.o.v. elkaar verplaatsen met een constante snelheid).

We maken hier een paar aannames:

• Tijd is voor beide stelsels gelijk.
• Beide stelsels zijn inertiaalstelsels, waarbij $O'$ weg beweegt van $O$ met een snelheid $v$.
• Beide stelsels hebben de assen dezelfde kant op gericht.
• Het moment $t=0$ is het moment dat beide stelsels zich op dezelfde plek bevinden. (Omdat de stelsels zich in één dimensie van elkaar af bewegen, is het altijd mogelijk om een assenstelsel en oorsprong zo te kiezen, dat de oorsprongen ooit bij elkaar zijn.)

Nu kunnen we de locatie van $r_O'$ schrijven als $r_O' = r_O + vt = vt$.

Object $P$

Van ons object $P$ weten we dat $r_P = r_O' + r_P'$. Zie onderstaande afbeelding:

Hieruit volgt dat:

$$r_P' = r_P - r_O' = r_P - vt$$

Hiermee kunnen we ook de snelheid $u_P'$ uitrekenen:

$$u_P' = \frac{dr_P'}{dt} = \frac{d}{dt}\big(r_P - vt\big) = \frac{dr_P}{dt} - v = u_P - v$$

Ten slotte kunnen we nu ook de versnelling $a_P'$ uitrekenen:

$$a_P' = \frac{du_P'}{dt} = \frac{d}{dt}\big(u_P - v\big) = \frac{du_P}{dt} = a_P$$

Hieruit kunnen we concluderen dat $F_P' = ma_P' = ma_P = F_P$, dus de krachten die beide stelsels observeren zijn gelijk.

Geluid en Doppler-effect

Geluid is een periodieke verandering in tijd en in plaats van de luchtdruk. Geluid kunnen we daarom schrijven in een algemene formule voor de luchtdruk, $P$:

$$P(x,t) = P_0 + A\sin\left(2\pi\left(\frac x \lambda - \frac t T\right)\right)$$

Als de snelheid van de observant gelijk is aan de golfsnelheid, geldt $\dfrac x t = \dfrac \lambda T$ en dus $\dfrac x \lambda - \dfrac t T = 0$. Dat betekent dat $P(x, t)$ constant is. Hieruit kun je concluderen dat als de luchtdruk $P$ constant is, je snelheid even groot is als de golfsnelheid.

Bewegende bron

We gaan uit van een situatie van een bewegende bron $O$ die naar achteren beweegt met snelheid $v$ (t.o.v. de lucht) en een stilstaande observant $O'$ (t.o.v. de lucht).

Iedere trillingstijd $T$ komt er een piek die naar de observant toe beweegt. De golflengte die de observant meet $\lambda'$ is dan $\lambda' = \lambda + \Delta x$.

Het stukje $\Delta x$ is de extra afstand van de golflengte, dat is de afstand die de bron aflegt in één trillingstijd $T$. Daarom geldt dat $\Delta x = vT$. Dit geeft $\lambda' = \lambda + vT$.

Verder geldt $v_S = \lambda f = \dfrac \lambda T$, waaruit volgt dat $T = \dfrac \lambda {v_S}$. Dit invullen geeft:

$$\lambda' = \lambda + vT = \lambda + v \dfrac \lambda {v_S} = \lambda \left(1 + \dfrac v {v_S} \right)$$

Nu kunnen we ook naar de gemeten trillingstijd kijken. Deze is anders dan de trillingstijd van de bron, dus kunnen we schrijven $T' = T + \Delta t$. Deze $\Delta t$ is de tijd die de bron erover doet om de afstand $\Delta x$ af te leggen, dus $\Delta t = \dfrac{vT}{v_S}$. Dit geeft voor de trillingstijd:

$$T' = T + \Delta t = T + \frac{vT}{v_S} = T \left(1 + \frac v {v_S}\right)$$

$$f' = \frac 1 {T'} = \frac 1T \cdot \frac 1 {1 + \frac v {v_S}} = \frac f {1 + \frac v {v_S}}$$

Hieruit volgt de geluidssnelheid $v_S'$:

$$v_S' = \lambda' f' = \lambda(1 + \tfrac v {v_S})\cdot \frac f {1 + \frac v {v_S}} = \lambda f = v_S$$

De geluidssnelheid is dus voor zowel de bron als voor de observant hetzelfde.

Bewegende observant

We gaan uit van een situatie van een stilstaande bron $O$ (t.o.v. de lucht) en een observant $O'$ die naar achteren beweegt met snelheid $v$ (t.o.v. de lucht).

We kunnen de positie van $O'$ schrijven als $x'=x-vt$, waaruit volgt dat $x=x'+vt$. Dit kunnen we nu invullen in de formule voor luchtdruk:

$$\begin{aligned} P(x,t) &= P(x'+vt,t) \\ &= P_0 + A\sin\left(2\pi\left(\frac{x'+vt} \lambda - \frac tT\right)\right) \\ &= P_0 + A\sin\left(2\pi\left(\frac {x'} \lambda + \frac{vt} \lambda - \frac tT\right)\right) \\ &= P_0 + A\sin\left(2\pi\left(\frac{x'} \lambda - t\left(\frac 1T - \frac v \lambda \right)\right)\right) \end{aligned}$$

Hiermee vinden we dat $\lambda' = \lambda$ en $\dfrac 1{T'} = \dfrac 1T - \dfrac v \lambda$, oftewel:

$$\lambda' = \lambda$$

$$f' = f - \frac v \lambda = f\left(1 - \frac v {v_S}\right)$$

Voor de geluidssnelheid vinden we dan:

$$v_S' = \lambda'f' = \lambda f\left(1 - \frac v {v_S}\right) = v_S - v$$

Er blijkt dus dat hier de geluidssnelheden niet hetzelfde zijn.