Jeroen's Studie Archief

Home

Vakken

Relativistische en klassieke mechanica

9 oktober 2024
Tweede wet van Newton

De tweede wet van Newton zegt: $\frac{d^2x}{dt^2}$ Het doel is meestal om $v (t)$ of $x (t)$ te vinden uit deze differentiaalvergelijking. We kijken naar een situatie met een constante versnelling $a$ met beginsnelheid $v_0$ en beginafstand $x_0$ . We krijgen $a=dvdta=\frac{dv}{dt}$ . Splitsen en integreren geeft: $\int_{v_0}^{v(t)} dv = \int_0^t a dt$ $v(t) = v_0 + at$ Als we nu hetzelfde voor $v=dxdtv=\frac{dx}{dt}$ doen, krijgen we: $\int_{x_0}^{x(t)} dx = \int_0^t (v_0 + at) dt$ $x_0 + v_0t + \tfrac12at^2$ Er zijn twee soorten luchtwrijving: Laminaire luchtwrijving, beschreven door $F=-c_1v$ . Turbulente luchtwrijving, beschreven door $F=-c_2|v|v$ . We hebben de differentiaalvergelijking: $\frac{dv}{dt} = -c_1v$ Hieruit vinden we (met de substitutie $τ=mc1\tau=\frac{m}{c_1}$ ): $v_0 e^{-t/\tau}$ $x_0 + v_0 \tau (1 - e^{-t / \tau})$ Voor een vallend object (met valversnelling $g$ ) en laminaire luchtweerstand krijgen we de differentiaalvergelijking: $\frac{dv}{dt} = -mg - c_1v$ Oplossen geeft (met de substitutie $ve=−mgc1v_e = \frac{-mg}{c_1}$ ): $(v_e + v_0) e^{-t / \tau} - v_e$ We hebben de differentiaalvergelijking: $\frac{dv}{dt} = -c_2 |v| v$ We nemen aan dat $\ge 0$ en lossen op voor $v (t)$ : $\frac{v_0m}{m + v_0c_2t}$ Voor $x (t)$ vinden we dan: $x_0 + \frac{m}{c_2} \log \left(1 + \frac{v_0c_2}{m}t \right)$ Merk op dat $lim⁡t→∞x(t)=∞\lim_{t \to \infty} x(t) = \infty$ , wat best raar is. Dit is te verklaren doordat we alleen turbulente wrijving hebben genomen, en laminaire wrijving hebben genegeerd.
20 september 2024
Lorentz-transformaties

We gaan uit van een situatie met twee stelsels, $O$ en $O^{'}$ , die relatief tot elkaar in de $x$ -richting bewegen. Het moment $t = t^{'} = 0$ is het moment dat ze bij elkaar zijn. Verder is er een event met coördinaat $x_r,ct_r)$ . Ons doel is een functie te vinden om $x_r',ct_r')$ uit te drukken in $x,ct_r)$ . Stelsel $O$ zendt een lichtsignaal uit in de $x$ -richting. Op $t=t_r$ ontvangt en reflecteert het event het licht. Er geldt dan dat $O$ het licht uitzendt en ontvangt op $cte=ctr−xrt_e=t_r-\dfrac{x_r}c \iff ct_e=ct_r-x_r$ en $ctd=ctr+xrt_d=t_r+\dfrac{x_r}c \iff ct_d=ct_r+x_r$ . Vergelijkbaar komt het licht langs $O^{'}$ op $ct_r'-x_r'$ en $ct_r'+x_r'$ . Het ruimte-tijd-diagram van $O$ ziet er zo uit: En het ruimte-tijd-diagram van $O^{'}$ ziet er zo uit: Met de functie $k(β)k(\beta)$ van de vorige keren krijgen we de volgende vergelijkingen: $ct_r' - x_r' = k(\beta)(ct_r-x_r)$ $ct_r' + x_r' = \frac 1{k(\beta)}(ct_r+x_r)$ Uit deze twee vergelijkingen volgen: $ct_r' = \gamma (ct_r - \beta x_r)$ $x_r' = \gamma (x_r - \beta ct_r)$ En omdat de twee stelsels relatief tot elkaar bewegen in de $x$ -richting, geldt dat $y_r'=y_r$ en $z_r'=z_r$ . Conclusie Voor een event met coördinaat $r→=(x,y,z)\overrightarrow r = (x,y,z)$ en een tijd $c t$ , geldt dat een ander stelsel dat met constante snelheid $v$ beweegt in de $x$ -richting het event meet als: $\overrightarrow r ' = \big(\gamma (x - \beta ct), y, z\big)$ $\gamma (ct - \beta x)$
18 september 2024
Lengte-contractie en optelling van snelheden

We gaan uit van een stilstaande staaf $O$ met lengte $L$ . Langs die staaf beweegt $O^{'}$ met constante snelheid $v$ naar rechts. Op het moment $t_1=t_1'=0$ staan $O$ en $O^{'}$ op dezelfde plek, namelijk het ene uiteinde van de staaf. Op $t_2'$ is $O^{'}$ bij het achterste uiteinde van de staaf. Het ruimte-tijd-diagram van $O$ ziet er zo uit: En het ruimte-tijd-diagram van $O^{'}$ ziet er zo uit: Voor de tijd $t_2$ geldt $L=vt_2$ . Het event dat de achterkant van de staaf bij $O^{'}$ voorbij komt vindt plaats in de oorsprong van $O^{'}$ . Daarom heeft $O^{'}$ eigentijd, en dus geldt $t_2 = \gamma t_2'$ , oftewel $t_2' = \dfrac{t_2}\gamma$ . Voor de lengte $L^{'}$ weten we dat de snelheid gelijk is aan $v$ en de tijd $t2′=t2γt_2'=\dfrac{t_2}\gamma$ . Hieruit vinden we: $vt_2' = \dfrac{vt_2}\gamma = \dfrac L\gamma$ Voor de lengte geldt dus precies hetzelfde als voor tijd: het stelsel waarin het event in de oorsprong plaatsvindt, meet de kortste lengte. We beschouwen nu drie stelsels $O_1, O_2, O_3$ die relatief tot elkaar met constante snelheid bewegen. De snelheid die $O_2$ heeft relatief tot $O_1$ noemen we $v_{1,2}$ en de snelheid die $O_3$ heeft relatief tot $O_2$ noemen we $v_{2,3}$ . We willen de snelheid die $O_3$ heeft relatief tot $O_1$ , genaamd $v_{1,3}$ , uitdrukken in $v_{1,2}$ en $v_{2,3}$ . Volgens Galilei-transformaties zou moeten gelden dat $v_{1,3} = v_{1,2} + v_{2,3}$ , maar dat klopt niet. De ruimte-tijd-diagrammen van de drie stelsels zien er alsvolgt uit: Stelsel $O_1$ zendt op tijdstip $t_1=t_{e1,1}$ (emissie uit $O_1$ zoals gemeten door $O_1$ ) licht uit naar de twee andere stelsels. Stelsel $O_2$ detecteert dit licht op $t_2=t_{d2,2}$ (detectie in $O_2$ zoals gemeten door $O_2$ ) en $O_3$ detecteert dit licht op $t_3=t_{d3,3}$ (detectie in $O_3$ zoals gemeten door $O_3$ ). Hiervoor kunnen we dezelfde functie $k(β)k(\beta)$ van de vorige keer gebruiken. Dit is namelijk een functie die tijd converteert van een stelsel dat licht "uitzendt" naar een stelsel dat licht ontvangt. Er geldt: $t_{d2,2} = k(\beta_{1,2}) t_{e1,1}$ $\begin{aligned} t_{d3,3} &= k(\beta_{2,3}) t_{d2,2} \\ &= k(\beta_{2,3}) k(\beta_{1,2}) t_{e1,1} \\ &= k(\beta_{1,3}) t_{e1,1} \end{aligned}$ Hieruit vinden we dat $k(\beta_{2,3}) k(\beta_{1,2}) = k(\beta_{1,3})$ . Hieruit volgt dan weer dat: $\sqrt\frac{1+\beta_{1,3}}{1-\beta_{1,3}} = \sqrt\frac{1+\beta_{2,3}}{1-\beta_{2,3}} \cdot \sqrt\frac{1+\beta_{1,2}}{1-\beta_{1,2}}$ Uiteindelijk volgt hieruit de volgende formule voor de optelling van snelheden: $v_{1,3} = \frac{v_{1,2} + v_{2,3}}{1 + v_{1,2}v_{2,3}/c^2}$ Als zowel $v_{1,2}$ als $v_{2,3}$ veel kleiner is dan $c$ , dan gaat $v_{1,2}v_{2,3}$ naar $0$ , en gaat $v_{1,3}$ naar $v_{1,2} + v_{2,3}$ . Dit is de optelling van snelheden van Galilei. Als $v_{1,2} = c$ , geldt: $v_{1,3} = \frac{v_{1,2} + v_{2,3}}{1 + v_{1,2}v_{2,3}/c^2} = \frac{c + v_{2,3}}{1 + cv_{2,3}/c^2} = \frac{c + v_{2,3}}{1 + v_{2,3}/c} \cdot \frac cc = c \cdot \frac{c + v_{2,3}}{c + v_{2,3}} = c$
13 september 2024
Ruimte-tijd-diagrammen en tijddilatatie

Er is gebleken dat de geluidssnelheid niet altijd even snel is. Deze hangt af van de snelheden van de waarnemer en bron en bovendien is deze afhankelijk van het medium waar het doorheen beweegt. Uit experimenten is gebleken dat de lichtsnelheid wél altijd even snel is. Uit het Doppler-effect blijkt dan dat de ether, als die bestaat, altijd met je meebeweegt. Na nog meer experimenten is gebleken dat er geen ether bestaat. Toen kwam Einstein met de theorie van speciale relativiteit: Beweging is relatief tot de observant (dit was al bekend) Licht gaat t.o.v. de waarnemer altijd met een constante snelheid $c$ Speciale relativiteit werkt alleen in inertiaalstelsels. Licht staat hier dus “los” van materie. Een ruimte-tijd-diagram (of Minkowski-diagram) is een diagram waarin dingen uit de speciale relativiteit getekend kunnen worden. De horizontale as is de $x$ -as (grijs) en de verticale as (grijs) is de $c t$ -as. Licht (rood) gaat altijd met een hoek van $45°45\degree$ of $−45°-45\degree$ t.o.v. de $x$ -as. Een punt in dit diagram heet een event (groen) en heeft een plaats en een tijd: $(x, c t)$ . De lijn die een object aflegt heet een wereldlijn (groen). Alleen punten in de lichtkegel kun je bereiken met een snelheid $\le c$ . Al jouw mogelijke acties moeten dus in de lichtkegel liggen (boven de $x$ -as). En alleen acties uit de lichtkegel onder de $x$ -as kunnen invloed op jou uitoefenen. We gaan uit van een persoon $O^{'}$ dat met een constante snelheid $v$ voorbij $O$ beweegt. Op het moment $t = t^{'} = 0$ zijn beide personen op dezelfde plek. Dit betekent dat geldt $x_{O'}=vt$ . Op $t=t_e$ (emissie) zendt $O$ een lichtsignaal uit naar $O^{'}$ . Op $t=t_r$ (reflectie) komt het licht aan bij $O^{'}$ en reflecteert hij het licht terug naar $O$ . Op $t=t_d$ (detectie) komt het licht weer aan bij $O$ . Het ruimte-tijd-diagram ziet er dan zo uit: De persoon in $O$ weet de tijden $t_e$ en $t_d$ , maar niet $t_r$ . Wel zien we in het ruimte-tijd-diagram dat de heen- en terugweg van het licht even lang duren, dus $tr=te+td2t_r = \dfrac{t_e+t_d}2$ . Verder zien we dat het licht in tijd $t_r-t_e$ afstand $x_r$ aflegt, dus $tr−te=xrc=vtrct_r-t_e = \dfrac{x_r}c = \dfrac{vt_r}c$ , waaruit volgt dat $t_e=t_r(1-v/c)$ . Uit deze vergelijkingen kunnen we afleiden dat $tdte=1+v/c1−v/c\dfrac{t_d}{t_e} = \dfrac{1+v/c}{1-v/c}$ . Vanuit $O^{'}$ Nu gaan we kijken vanaf $O^{'}$ . Het ruimte-tijd-diagram ziet er zo uit: Hier zien we gelijk al dat geldt $tr≠te+td2t_r\neq\dfrac{t_e+t_d}2$ . Wel zien we dat in tijd $t_r'-t_e'$ het licht een afstand $x_e'=vt_e'$ aflegt. En omdat licht met snelheid $c$ gaat, volgt hieruit dat $tr′−te′=vte′ct_r'-t_e'=\dfrac{vt_e'}c$ , waaruit volgt dat $t_r'=t_e'(1+v/c)$ . Vergelijkbaar zien we dat het licht in tijd $t_d'-t_r'$ een afstand $x_d'=vt_d'$ aflegt, oftewel $td′−tr′=vtr′ct_d'-t_r'=\dfrac{vt_r'}c$ . Hieruit volgt dat $t_r'=t_d'(1-v/c)$ . Als we deze vergelijkingen voor $t_r'$ aan elkaar gelijk stellen, vinden we: $\dfrac{t_d'}{t_e'} = \dfrac{1+v/c}{1-v/c}$ Hieruit concluderen we dat beide personen tot dezelfde rekensom, en dus dezelfde snelheid komen. We concluderen echter ook dat beide personen tijd anders ervaren, oftewel dat tijd relatief is. We weten dat $t_e=t_r(1-v/c)$ en $td=te1+v/c1−v/c=tr(1+v/c)t_d = t_e\dfrac{1+v/c}{1-v/c} = t_r(1+v/c)$ . Stel, er bestaat een functie $f (t)$ zodat $t_r'=f(t_e)$ . Dan is dit een functie die de tijd converteert van een stelsel dat licht uitzendt naar een stelsel dat licht ontvangt. Daarom moet ook gelden $t_d=f(t_r')$ . Dan geldt dus $td=f(f(te))=te1+v/c1−v/ct_d = f(f(t_e)) = t_e \dfrac{1+v/c}{1-v/c}$ . Hieruit volgt dan dat $t\sqrt\dfrac{1+v/c}{1-v/c}$ . (We tonen niet aan dat dit de enige functie is met deze eigenschap, maar dat is wel zo.) We introduceren nu een paar afkortingen om de algebra makkelijker te maken. $\beta = \frac vc$ $k(\beta) = \sqrt\frac{1+\beta}{1-\beta}$ $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$ Nu geldt dus $tr′=tek(β)t_r'=t_ek(\beta)$ en $te=tr(1−β)t_e=t_r(1-\beta)$ , waaruit volgt dat: $\begin{aligned} t_r' &= t_r (1-\beta) k(\beta) \\ &= t_r (1-\beta) \sqrt\dfrac{1+\beta}{1-\beta} \\ &= t_r \sqrt\dfrac{(1-\beta)^2(1+\beta)}{1-\beta} \\ &= t_r \sqrt{(1-\beta)(1+\beta)} \\ &= t_r \sqrt{1-\beta^2} \\ &= t_r \dfrac1\gamma \end{aligned}$ We concluderen dus dat $tr=γtr′t_r = \gamma t_r'$ . Er geldt $γ≥1\gamma \ge 1$ . Omdat $tr=γtr′t_r = \gamma t_r'$ , betekent dat tijd wél afhangt van de observeerder. De eigentijd daarentegen is een grootheid die niet afhangt van de observeerder. De eigentijd is de tijd die het stelsel, waar een event in de oorsprong zit, meet. Er geldt dat de eigentijd altijd de kleinste tijd is. En omdat het reflectie-event bij $O^{'}$ in de oorsprong plaatsvindt, geldt $tr=γtr′t_r = \gamma t_r'$ en niet andersom.
11 september 2024
Galilei-transformaties en Doppler-effect

Van een object $P$ in de ruimte kun je een vector $r_P=(x,y,z)$ opstellen. Deze vector is een functie van tijd: $r_P(t)$ . De snelheid van $P$ , $u_P$ , is dan gelijk aan $drPdt\dfrac{dr_P}{dt}$ . Let op: deze snelheid is relatief tot een oorsprong $O$ . Nu introduceren we een nieuw assenstelsel met een nieuwe oorsprong: $O^{'}$ . We schrijven de plaatsvector van ons object nu als $r_P'(t) = (x',y',z')$ en de snelheidsvector als $uP′=drP′dtu_P'=\dfrac{dr_P'}{dt}$ . Twee assenstelsels heten inertiaalstelsels als ze niet onderling versnellend zijn (dus t.o.v. elkaar verplaatsen met een constante snelheid). We maken hier een paar aannames: Tijd is voor beide stelsels gelijk. Beide stelsels zijn inertiaalstelsels, waarbij $O^{'}$ weg beweegt van $O$ met een snelheid $v$ . Beide stelsels hebben de assen dezelfde kant op gericht. Het moment $t = 0$ is het moment dat beide stelsels zich op dezelfde plek bevinden. (Omdat de stelsels zich in één dimensie van elkaar af bewegen, is het altijd mogelijk om een assenstelsel en oorsprong zo te kiezen, dat de oorsprongen ooit bij elkaar zijn.) Nu kunnen we de locatie van $r_O'$ schrijven als $r_O' = r_O + vt = vt$ . Object $P$ Van ons object $P$ weten we dat $r_P = r_O' + r_P'$ . Zie onderstaande afbeelding: Hieruit volgt dat: $r_P' = r_P - r_O' = r_P - vt$ Hiermee kunnen we ook de snelheid $u_P'$ uitrekenen: $u_P' = \frac{dr_P'}{dt} = \frac{d}{dt}\big(r_P - vt\big) = \frac{dr_P}{dt} - v = u_P - v$ Ten slotte kunnen we nu ook de versnelling $a_P'$ uitrekenen: $a_P' = \frac{du_P'}{dt} = \frac{d}{dt}\big(u_P - v\big) = \frac{du_P}{dt} = a_P$ Hieruit kunnen we concluderen dat $F_P' = ma_P' = ma_P = F_P$ , dus de krachten die beide stelsels observeren zijn gelijk. Geluid is een periodieke verandering in tijd en in plaats van de luchtdruk. Geluid kunnen we daarom schrijven in een algemene formule voor de luchtdruk, $P$ : $P_0 + A\sin\left(2\pi\left(\frac x \lambda - \frac t T\right)\right)$ Als de snelheid van de observant gelijk is aan de golfsnelheid, geldt $xt=λT\dfrac x t = \dfrac \lambda T$ en dus $xλ−tT=0\dfrac x \lambda - \dfrac t T = 0$ . Dat betekent dat $P (x, t)$ constant is. Hieruit kun je concluderen dat als de luchtdruk $P$ constant is, je snelheid even groot is als de golfsnelheid. We gaan uit van een situatie van een bewegende bron $O$ die naar achteren beweegt met snelheid $v$ (t.o.v. de lucht) en een stilstaande observant $O^{'}$ (t.o.v. de lucht). Iedere trillingstijd $T$ komt er een piek die naar de observant toe beweegt. De golflengte die de observant meet $λ′\lambda'$ is dan $λ′=λ+Δx\lambda' = \lambda + \Delta x$ . Het stukje $Δx\Delta x$ is de extra afstand van de golflengte, dat is de afstand die de bron aflegt in één trillingstijd $T$ . Daarom geldt dat $Δx=vT\Delta x = vT$ . Dit geeft $λ′=λ+vT\lambda' = \lambda + vT$ . Verder geldt $vS=λf=λTv_S = \lambda f = \dfrac \lambda T$ , waaruit volgt dat $\dfrac \lambda {v_S}$ . Dit invullen geeft: $\lambda' = \lambda + vT = \lambda + v \dfrac \lambda {v_S} = \lambda \left(1 + \dfrac v {v_S} \right)$ Nu kunnen we ook naar de gemeten trillingstijd kijken. Deze is anders dan de trillingstijd van de bron, dus kunnen we schrijven $\Delta t$ . Deze $Δt\Delta t$ is de tijd die de bron erover doet om de afstand $Δx\Delta x$ af te leggen, dus $Δt=vTvS\Delta t = \dfrac{vT}{v_S}$ . Dit geeft voor de trillingstijd: $\Delta t = T + \frac{vT}{v_S} = T \left(1 + \frac v {v_S}\right)$ $\frac 1 {T'} = \frac 1T \cdot \frac 1 {1 + \frac v {v_S}} = \frac f {1 + \frac v {v_S}}$ Hieruit volgt de geluidssnelheid $v_S'$ : $v_S' = \lambda' f' = \lambda(1 + \tfrac v {v_S})\cdot \frac f {1 + \frac v {v_S}} = \lambda f = v_S$ De geluidssnelheid is dus voor zowel de bron als voor de observant hetzelfde. We gaan uit van een situatie van een stilstaande bron $O$ (t.o.v. de lucht) en een observant $O^{'}$ die naar achteren beweegt met snelheid $v$ (t.o.v. de lucht). We kunnen de positie van $O^{'}$ schrijven als $x^{'} = x - v t$ , waaruit volgt dat $x = x^{'} + v t$ . Dit kunnen we nu invullen in de formule voor luchtdruk: $\begin{aligned} P(x,t) &= P(x'+vt,t) \\ &= P_0 + A\sin\left(2\pi\left(\frac{x'+vt} \lambda - \frac tT\right)\right) \\ &= P_0 + A\sin\left(2\pi\left(\frac {x'} \lambda + \frac{vt} \lambda - \frac tT\right)\right) \\ &= P_0 + A\sin\left(2\pi\left(\frac{x'} \lambda - t\left(\frac 1T - \frac v \lambda \right)\right)\right) \end{aligned}$ Hiermee vinden we dat $λ′=λ\lambda' = \lambda$ en $1T′=1T−vλ\dfrac 1{T'} = \dfrac 1T - \dfrac v \lambda$ , oftewel: $\lambda' = \lambda$ $\frac v \lambda = f\left(1 - \frac v {v_S}\right)$ Voor de geluidssnelheid vinden we dan: $v_S' = \lambda'f' = \lambda f\left(1 - \frac v {v_S}\right) = v_S - v$ Er blijkt dus dat hier de geluidssnelheden niet hetzelfde zijn.

Gemaakt door Jeroen van Rensen.