Lengte-contractie en optelling van snelheden

Lengte-contractie (Lorentz-contractie)

We gaan uit van een stilstaande staaf $O$ met lengte $L$. Langs die staaf beweegt $O'$ met constante snelheid $v$ naar rechts. Op het moment $t_1=t_1'=0$ staan $O$ en $O'$ op dezelfde plek, namelijk het ene uiteinde van de staaf. Op $t_2'$ is $O'$ bij het achterste uiteinde van de staaf.

Het ruimte-tijd-diagram van $O$ ziet er zo uit:

En het ruimte-tijd-diagram van $O'$ ziet er zo uit:

Voor de tijd $t_2$ geldt $L=vt_2$.

Het event dat de achterkant van de staaf bij $O'$ voorbij komt vindt plaats in de oorsprong van $O'$. Daarom heeft $O'$ eigentijd, en dus geldt $t_2 = \gamma t_2'$, oftewel $t_2' = \dfrac{t_2}\gamma$.

Voor de lengte $L'$ weten we dat de snelheid gelijk is aan $v$ en de tijd $t_2'=\dfrac{t_2}\gamma$. Hieruit vinden we:

$$L' = vt_2' = \dfrac{vt_2}\gamma = \dfrac L\gamma$$

Voor de lengte geldt dus precies hetzelfde als voor tijd: het stelsel waarin het event in de oorsprong plaatsvindt, meet de kortste lengte.

Optelling van snelheden

We beschouwen nu drie stelsels $O_1, O_2, O_3$ die relatief tot elkaar met constante snelheid bewegen. De snelheid die $O_2$ heeft relatief tot $O_1$ noemen we $v_{1,2}$ en de snelheid die $O_3$ heeft relatief tot $O_2$ noemen we $v_{2,3}$.

We willen de snelheid die $O_3$ heeft relatief tot $O_1$, genaamd $v_{1,3}$, uitdrukken in $v_{1,2}$ en $v_{2,3}$. Volgens Galilei-transformaties zou moeten gelden dat $v_{1,3} = v_{1,2} + v_{2,3}$, maar dat klopt niet.

De ruimte-tijd-diagrammen van de drie stelsels zien er alsvolgt uit:

Stelsel $O_1$ zendt op tijdstip $t_1=t_{e1,1}$ (emissie uit $O_1$ zoals gemeten door $O_1$) licht uit naar de twee andere stelsels. Stelsel $O_2$ detecteert dit licht op $t_2=t_{d2,2}$ (detectie in $O_2$ zoals gemeten door $O_2$) en $O_3$ detecteert dit licht op $t_3=t_{d3,3}$ (detectie in $O_3$ zoals gemeten door $O_3$).

Hiervoor kunnen we dezelfde functie $k(\beta)$ van de vorige keer gebruiken. Dit is namelijk een functie die tijd converteert van een stelsel dat licht "uitzendt" naar een stelsel dat licht ontvangt. Er geldt:

$$t_{d2,2} = k(\beta_{1,2}) t_{e1,1}$$

$$\begin{aligned} t_{d3,3} &= k(\beta_{2,3}) t_{d2,2} \\ &= k(\beta_{2,3}) k(\beta_{1,2}) t_{e1,1} \\ &= k(\beta_{1,3}) t_{e1,1} \end{aligned}$$

Hieruit vinden we dat $k(\beta_{2,3}) k(\beta_{1,2}) = k(\beta_{1,3})$. Hieruit volgt dan weer dat:

$$\sqrt\frac{1+\beta_{1,3}}{1-\beta_{1,3}} = \sqrt\frac{1+\beta_{2,3}}{1-\beta_{2,3}} \cdot \sqrt\frac{1+\beta_{1,2}}{1-\beta_{1,2}}$$

Uiteindelijk volgt hieruit de volgende formule voor de optelling van snelheden:

$$v_{1,3} = \frac{v_{1,2} + v_{2,3}}{1 + v_{1,2}v_{2,3}/c^2}$$

Testen

Als zowel $v_{1,2}$ als $v_{2,3}$ veel kleiner is dan $c$, dan gaat $v_{1,2}v_{2,3}$ naar $0$, en gaat $v_{1,3}$ naar $v_{1,2} + v_{2,3}$. Dit is de optelling van snelheden van Galilei.

Als $v_{1,2} = c$, geldt:

$$v_{1,3} = \frac{v_{1,2} + v_{2,3}}{1 + v_{1,2}v_{2,3}/c^2} = \frac{c + v_{2,3}}{1 + cv_{2,3}/c^2} = \frac{c + v_{2,3}}{1 + v_{2,3}/c} \cdot \frac cc = c \cdot \frac{c + v_{2,3}}{c + v_{2,3}} = c$$