Lorentz-transformaties

We gaan uit van een situatie met twee stelsels, $O$ en $O'$, die relatief tot elkaar in de $x$-richting bewegen. Het moment $t=t'=0$ is het moment dat ze bij elkaar zijn. Verder is er een event met coördinaat $(x_r,ct_r)$. Ons doel is een functie te vinden om $(x_r',ct_r')$ uit te drukken in $(x,ct_r)$.

Stelsel $O$ zendt een lichtsignaal uit in de $x$-richting. Op $t=t_r$ ontvangt en reflecteert het event het licht.

Er geldt dan dat $O$ het licht uitzendt en ontvangt op $t_e=t_r-\dfrac{x_r}c \iff ct_e=ct_r-x_r$ en $t_d=t_r+\dfrac{x_r}c \iff ct_d=ct_r+x_r$. Vergelijkbaar komt het licht langs $O'$ op $ct_r'-x_r'$ en $ct_r'+x_r'$.

Het ruimte-tijd-diagram van $O$ ziet er zo uit:

En het ruimte-tijd-diagram van $O'$ ziet er zo uit:

Met de functie $k(\beta)$ van de vorige keren krijgen we de volgende vergelijkingen:

$$ct_r' - x_r' = k(\beta)(ct_r-x_r)$$

$$ct_r' + x_r' = \frac 1{k(\beta)}(ct_r+x_r)$$

Uit deze twee vergelijkingen volgen:

$$ct_r' = \gamma (ct_r - \beta x_r)$$

$$x_r' = \gamma (x_r - \beta ct_r)$$

En omdat de twee stelsels relatief tot elkaar bewegen in de $x$-richting, geldt dat $y_r'=y_r$ en $z_r'=z_r$.