Ruimte-tijd-diagrammen en tijddilatatie

Er is gebleken dat de geluidssnelheid niet altijd even snel is. Deze hangt af van de snelheden van de waarnemer en bron en bovendien is deze afhankelijk van het medium waar het doorheen beweegt.

Uit experimenten is gebleken dat de lichtsnelheid wél altijd even snel is. Uit het Doppler-effect blijkt dan dat de ether, als die bestaat, altijd met je meebeweegt. Na nog meer experimenten is gebleken dat er geen ether bestaat.

Toen kwam Einstein met de theorie van speciale relativiteit:

• Beweging is relatief tot de observant (dit was al bekend)
• Licht gaat t.o.v. de waarnemer altijd met een constante snelheid $c$

Speciale relativiteit werkt alleen in inertiaalstelsels. Licht staat hier dus “los” van materie.

Ruimte-tijd-diagram

Een ruimte-tijd-diagram (of Minkowski-diagram) is een diagram waarin dingen uit de speciale relativiteit getekend kunnen worden.

De horizontale as is de $x$-as (grijs) en de verticale as (grijs) is de $ct$-as. Licht (rood) gaat altijd met een hoek van $45\degree$ of $-45\degree$ t.o.v. de $x$-as.

Een punt in dit diagram heet een event (groen) en heeft een plaats en een tijd: $(x, ct)$. De lijn die een object aflegt heet een wereldlijn (groen).

Alleen punten in de lichtkegel kun je bereiken met een snelheid $v \le c$. Al jouw mogelijke acties moeten dus in de lichtkegel liggen (boven de $x$-as). En alleen acties uit de lichtkegel onder de $x$-as kunnen invloed op jou uitoefenen.

Gedachte-experiment

We gaan uit van een persoon $O'$ dat met een constante snelheid $v$ voorbij $O$ beweegt. Op het moment $t=t'=0$ zijn beide personen op dezelfde plek. Dit betekent dat geldt $x_{O'}=vt$.

Op $t=t_e$ (emissie) zendt $O$ een lichtsignaal uit naar $O'$. Op $t=t_r$ (reflectie) komt het licht aan bij $O'$ en reflecteert hij het licht terug naar $O$. Op $t=t_d$ (detectie) komt het licht weer aan bij $O$.

Het ruimte-tijd-diagram ziet er dan zo uit:

De persoon in $O$ weet de tijden $t_e$ en $t_d$, maar niet $t_r$. Wel zien we in het ruimte-tijd-diagram dat de heen- en terugweg van het licht even lang duren, dus $t_r = \dfrac{t_e+t_d}2$.

Verder zien we dat het licht in tijd $t_r-t_e$ afstand $x_r$ aflegt, dus $t_r-t_e = \dfrac{x_r}c = \dfrac{vt_r}c$, waaruit volgt dat $t_e=t_r(1-v/c)$.

Uit deze vergelijkingen kunnen we afleiden dat $\dfrac{t_d}{t_e} = \dfrac{1+v/c}{1-v/c}$.

Vanuit $O'$

Nu gaan we kijken vanaf $O'$. Het ruimte-tijd-diagram ziet er zo uit:

Hier zien we gelijk al dat geldt $t_r\neq\dfrac{t_e+t_d}2$. Wel zien we dat in tijd $t_r'-t_e'$ het licht een afstand $x_e'=vt_e'$ aflegt. En omdat licht met snelheid $c$ gaat, volgt hieruit dat $t_r'-t_e'=\dfrac{vt_e'}c$, waaruit volgt dat $t_r'=t_e'(1+v/c)$.

Vergelijkbaar zien we dat het licht in tijd $t_d'-t_r'$ een afstand $x_d'=vt_d'$ aflegt, oftewel $t_d'-t_r'=\dfrac{vt_r'}c$. Hieruit volgt dat $t_r'=t_d'(1-v/c)$.

Als we deze vergelijkingen voor $t_r'$ aan elkaar gelijk stellen, vinden we:

$$\dfrac{t_d'}{t_e'} = \dfrac{1+v/c}{1-v/c}$$

Hieruit concluderen we dat beide personen tot dezelfde rekensom, en dus dezelfde snelheid komen. We concluderen echter ook dat beide personen tijd anders ervaren, oftewel dat tijd relatief is.

Tijden converteren

We weten dat $t_e=t_r(1-v/c)$ en $t_d = t_e\dfrac{1+v/c}{1-v/c} = t_r(1+v/c)$.

Stel, er bestaat een functie $f(t)$ zodat $t_r'=f(t_e)$. Dan is dit een functie die de tijd converteert van een stelsel dat licht uitzendt naar een stelsel dat licht ontvangt. Daarom moet ook gelden $t_d=f(t_r')$.

Dan geldt dus $t_d = f(f(t_e)) = t_e \dfrac{1+v/c}{1-v/c}$. Hieruit volgt dan dat $f(t) = t\sqrt\dfrac{1+v/c}{1-v/c}$. (We tonen niet aan dat dit de enige functie is met deze eigenschap, maar dat is wel zo.)

Afkortingen

We introduceren nu een paar afkortingen om de algebra makkelijker te maken.

$$\beta = \frac vc$$

$$k(\beta) = \sqrt\frac{1+\beta}{1-\beta}$$

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$$

Conclusie

Nu geldt dus $t_r'=t_ek(\beta)$ en $t_e=t_r(1-\beta)$, waaruit volgt dat:

$$\begin{aligned} t_r' &= t_r (1-\beta) k(\beta) \\ &= t_r (1-\beta) \sqrt\dfrac{1+\beta}{1-\beta} \\ &= t_r \sqrt\dfrac{(1-\beta)^2(1+\beta)}{1-\beta} \\ &= t_r \sqrt{(1-\beta)(1+\beta)} \\ &= t_r \sqrt{1-\beta^2} \\ &= t_r \dfrac1\gamma \end{aligned}$$

We concluderen dus dat $t_r = \gamma t_r'$.

Eigentijd

Er geldt $\gamma \ge 1$. Omdat $t_r = \gamma t_r'$, betekent dat tijd wél afhangt van de observeerder.

De eigentijd daarentegen is een grootheid die niet afhangt van de observeerder. De eigentijd is de tijd die het stelsel, waar een event in de oorsprong zit, meet.

Er geldt dat de eigentijd altijd de kleinste tijd is. En omdat het reflectie-event bij $O'$ in de oorsprong plaatsvindt, geldt $t_r = \gamma t_r'$ en niet andersom.