Tweede wet van Newton

De tweede wet van Newton zegt:

$$F = m \frac{d^2x}{dt^2}$$

Het doel is meestal om $v(t)$ of $x(t)$ te vinden uit deze differentiaalvergelijking.

Constante versnelling

We kijken naar een situatie met een constante versnelling $a$ met beginsnelheid $v_0$ en beginafstand $x_0$.

We krijgen $a=\frac{dv}{dt}$. Splitsen en integreren geeft:

$$\int_{v_0}^{v(t)} dv = \int_0^t a dt$$

$$v(t) = v_0 + at$$

Als we nu hetzelfde voor $v=\frac{dx}{dt}$ doen, krijgen we:

$$\int_{x_0}^{x(t)} dx = \int_0^t (v_0 + at) dt$$

$$x(t) = x_0 + v_0t + \tfrac12at^2$$

Luchtwrijving

Er zijn twee soorten luchtwrijving:

• Laminaire luchtwrijving, beschreven door $F=-c_1v$.
• Turbulente luchtwrijving, beschreven door $F=-c_2|v|v$.

Laminaire stroming

We hebben de differentiaalvergelijking:

$$F = m \frac{dv}{dt} = -c_1v$$

Hieruit vinden we (met de substitutie $\tau=\frac{m}{c_1}$):

$$v(t) = v_0 e^{-t/\tau}$$

$$x(t) = x_0 + v_0 \tau (1 - e^{-t / \tau})$$

Vallend object met luchtweerstand

Voor een vallend object (met valversnelling $g$) en laminaire luchtweerstand krijgen we de differentiaalvergelijking:

$$F = m \frac{dv}{dt} = -mg - c_1v$$

Oplossen geeft (met de substitutie $v_e = \frac{-mg}{c_1}$):

$$v(t) = (v_e + v_0) e^{-t / \tau} - v_e$$

Turbulente wrijving

We hebben de differentiaalvergelijking:

$$F = m \frac{dv}{dt} = -c_2 |v| v$$

We nemen aan dat $v \ge 0$ en lossen op voor $v(t)$:

$$v(t) = \frac{v_0m}{m + v_0c_2t}$$

Voor $x(t)$ vinden we dan:

$$x(t) = x_0 + \frac{m}{c_2} \log \left(1 + \frac{v_0c_2}{m}t \right)$$

Merk op dat $\lim_{t \to \infty} x(t) = \infty$, wat best raar is. Dit is te verklaren doordat we alleen turbulente wrijving hebben genomen, en laminaire wrijving hebben genegeerd.